差分方程 百科内容来自于: 差分方程是含有未知函数及其导数的方程，满足该方程的函数称为差分方程的解。 基本概念 一、差分的概念 设函数yt=f(t)在 t=…，-2，-1，0，1，2，…处有定义,对应的函数值为…，y-2，y-1，y0，y1，y2，…，则函数yt=f(t)在时间 t 的一阶差分定义为 Dyt=yt+1-yt=f(t+1)-f(t)。 依此定义类推，有 Dyt+1=yt+2-yt+1=f(t+2)-f(t+1)，Dyt+2=yt+3-yt+2=f(t+3)-f(t+2)，……………… 一阶差分的性质 (1) 若 yt=C(C 为常数)，则 Dyt=0； (2) 对于任意常数k，D(kyt)=kDyt； (3) D(yt+zt)=Dyt+Dzt。 函数yt=f(t)在时刻 t 的二阶差分定义为一阶差分的差分，即 D2yt= D (D yt)= D yt+1- D yt =(yt+2-yt+1)-(yt+1-yt)=yt+2-2yt+1+yt． 依此定义类推，有 D2yt+1= Dyt+2- Dyt+1=yt+3-2yt+2+yt+1，D2yt+2= Dyt+3- Dyt+2=yt+4-2yt+3+yt+2，……………… 类推，计算两个相继的二阶差分之差，便得到三阶差分 D3yt= D2yt+1- D2yt=yt+3-3yt+2+3yt+1-yt， D3yt+1= D2yt+2- D2yt+1=yt+4-3yt+3+3yt+2-yt+1， ……………… 一般地,k 阶差分(k 为正整数)定义为 这里 二、 差分方程 含有未知函数 y t=f(t)以及 y t 的差分 Dy t， D2y t，…的函数方程，称为常差分方程(简称差分方程)；出现在差分方程中的差分的最高阶数，称为差分方程的阶。n 阶差分方程的一般形式为 F(t，y t，Dy t，…， Dny t)=0， 其中 F 是 t，y t, Dy t，…， Dny t 的已知函数，且 Dny t 一定要在方程中出现。 含有两个或两个以上函数值 y t，y t+1，…的函数方程，称为(常)差分方程，出现在差分方程中未知函数下标的最大差，称为差分方程的阶。n 阶差分方程的一般形式为 F(t，y t，y t+1，…，y t+n)=0, 其中 F 为 t，y t，y t+1，…，y t+n 的已知函数，且 y t 和 y t+n 一定要在差分方程中出现。 三、 差分方程的解 如果将已知函数 y t=j(t)代入方程 F(t，y t，y t+1，…，y t+n)=0，使其对 t=…，-2，-1，0，1，2，…成为恒等式，则称 y t=j(t)为方程的解。含有 n 个任意(独立)常数 C1，C2，…，Cn 的解 (t，C1，C2，…，Cn)y t= 称为 n 阶差分方程的通解。在通解中给任意常数 C1，C2，…，Cn 以确定的值所得的解，称为 n阶差分方程的特解。 线性差分方程 形如 y t+n+a1(t)y t+n-1+a2(t)y t+n-2+…+an-1(t)y t＋1+an(t)y t=...
