海伦公式的推广VIP免费

第 1 页 共 6 页 海伦公式的几种另证及其推广 2002 级 3 班 欧锦峰 关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有： 设△ABC 中，a、b、c 分别为角A、B、C 的对边，ha 为a 边上的高，R、r 分别为△ABC 外接圆、内切圆的半径，p =21 (a+b+c),则 S△ABC =21 aha=21 ab× sinC = r p = 2R2sinAsinBsinC =Rabc4 =))()((cpbpapp 其中，S△ABC =))()((cpbpapp就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。 海伦公式在解题中有十分重要的应用。 一、 海伦公式的变形 S=))()((cpbpapp =))()()((41acbbcacbacba ① =])(][)[(412222baccba ② =)]2()[2(41222222abcbaabcba ③ =222222)(441cbaba ④ =44422222222241cbacbcaba ⑤ 二、 海伦公式的证明 证一 勾股定理 分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC =21 aha 入手，运用勾股定理推导出海伦公式。 第 2 页 共 6 页 证明：如图ha⊥BC，根据勾股定理，得: 222222xchybhyaxaa x =abca2222 y =abca2222 ha =22yb =2222224)(abcab=abcaba2)(4222222 ∴ S△ABC =21 aha=21 a×abcaba2)(4222222=222222)(441cbaba 此时 S△ABC 为变形④，故得证。 证二：斯氏定理 分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出 ha。 斯氏定理:△ABC 边 BC 上任取一点 D， 若 BD=u，DC=v,AD=t.则 t 2 = uvacvub22 证明：由证一可知，u =acba2222 v =acba2222 ∴ ha 2 = t 2 =242222224222acbcaccbbab－222244)(acba ∴ S△ABC =21 aha =21 a ×acbacbcaba2222444222222 =44422222222241cbacbcaba 此时为 S△ABC 的变形⑤，故得证。 证三：余弦定理 第 3 页 共 6 页 分析：由变形② S =])(][)[(412222baccba可知，运用余弦定理 c2 = a2 + b2 －2abcosC 对其进行证明。 证明：要证明S =])(][)[(412222baccba 则要证S =])()cos2][()cos2()[(4122222222baCabbaCabbaba =)cos22)(cos22(41CababCabab =21 ab×sinC 此时S =21 ab×sinC 为三角形计算公式，故得证。 证四：恒等式 分析：考虑运用S△ABC =r p，因为有三角形内接圆半径...