2007 年全国高中数学联合竞赛一试试卷 （考试时间：上午8：00—9：40） 一、选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分） 1. 如图，在正四棱锥P−ABCD 中，∠APC=60°，则二面角A−PB−C的平面角的余弦值为（ ） A. 71 B. 71 C. 21 D. 21 2. 设实数a 使得不等式|2x−a|+|3x−2a|≥a2 对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是（ ） A. ]31,31[ B. ]21,21[ C. ]31,41[ D. [−3，3] 3. 将号码分别为1、2、…、9 的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b。则使不等式a−2b+10>0 成立的事件发生的概率等于（ ） A. 8152 B. 8159 C. 8160 D. 8161 4. 设函数f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数a、b、c 使得af(x)+bf(x−c)=1 对任意实数x 恒成立，则acbcos的值等于（ ） A. 21 B. 21 C. −1 D. 1 5. 设圆 O1 和圆 O2 是两个定圆，动圆 P 与这两个定圆都相切，则圆 P 的圆心轨迹不可能是（ ） 6. 已知 A 与 B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与 B 的元素个数相同，且为A∩ B 空集。若 n∈A 时总有 2n+2∈B，则集合A∪B 的元素个数最多为（ ） A. 62 B. 66 C. 68 D. 74 二、填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分） 7. 在平面直角坐标系内，有四个定点 A(−3，0)，B(1，−1)，C(0，3)，D(−1，3)及一个动点P，则|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值为__________。 8. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB=EF=1，BC=6， 33CA，若2AFACAEAB，则EF 与 BC 的夹角的余弦值等于________。 9. 已知正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为1，以顶点 A 为球心，332为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________。 10. 已知等差数列{an}的公差 d 不为0，等比数列{bn}的公比 q 是小于 1 的正有理数。若 a1=d，b1=d2，且321232221bbbaaa是正整数，则q 等于________。 11. 已知函数)4541(2)cos()sin()(xxπxπxxf，则f(x)的最小值为________。 12. 将2 个 a 和 2 个 b 共 4 个字母填在如图所示的16 个小方格内，每个小方格内至多填 1 个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有________种（用数字作答）。 DABCP三、解答题（本题...
