百度文库- 让每个人平等地提升自我11 第一章曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(tr具有固定方向的充要条件是)(tr×)(' tr= 0 。分析：一个向量函数)(tr一般可以写成)(tr=)(t)(te的形式，其中)(te为单位向量函数，)(t 为数量函数，那么)(tr具有固定方向的充要条件是)(te具有固定方向，即)(te为常向量，（因为)(te的长度固定）。证 对于向量函数)(tr，设)(te为其单位向量，则)(tr=)(t)(te，若)(tr具有固定方向，则)(te为常向量，那么)(' tr=)(' te，所以r ×'r =' （ e × e ）= 0 。反之，若 r ×'r=0，对)(tr=)(t)(te求微商得'r=' e+'e，于是 r ×'r=2 （ e ×'e ）= 0 ，则有= 0 或 e ×'e = 0。当)(t= 0 时，)(tr=0 可与任意方向平行；当0 时，有 e ×'e = 0 ，而（ e ×'e2) =22 'ee- (e · 'e2) ＝2'e，（因为 e具有固定长，e · 'e = 0） ，所以'e =0 ，即 e 为常向量。所以，)(tr具有固定方向。6．向量函数)(tr平行于固定平面的充要条件是（r'r''r）=0 。分析：向量函数)(tr平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(tn，使)(tr·n= 0 ，所以我们要寻求这个向量n及 n 与'r，''r 的关系。证 若)(tr平行于一固定平面π ，设n 是平面π 的一个单位法向量，则n为常向量，且)(tr·n = 0 。两次求微商得'r · n = 0 ，''r · n = 0 ，即向量 r ， 'r ，''r垂直于同一非零向量 n，因而共面，即（ r'r''r）=0 。反之 , 若（ r'r''r）=0，则有 r ×'r = 0或 r ×'r0 。若 r ×'r = 0 ，由上题知)(tr具有固定方向， 自然平行于一固定平面， 若 r ×'r0 ，则存在数量函数)(t 、)(t ，使''r = r +'r①百度文库- 让每个人平等地提升自我22 令 n = r ×'r ，则 n0 ，且)(tr⊥)(tn。对 n = r ×'r 求微商并将①式代入得'n = r ×''r =（ r ×'r ）=n ，于是 n ×'n = 0，由上题知 n 有固定方向， 而)(tr⊥ n ，即)( tr平行于固定平面。§3 曲线的概念1．求圆柱螺线 x =tcos ， y =tsin ， z =t 在（ 1,0,0 ）的切线和法平面。解令tcos =1,tsin=0, t =0 得 t =0,'r (0)={ -tsin ,tcos , 1}|0t={0,1,1},曲线在 (0,1,1)的切线为1101zyx，法平面为y + z = 0 。2．求三次曲线},,{32 ctbtatr在点0t 的切线和法平面。解}3,2,{)('2000ctbtatr，切线为2030020032ctctzbtb...
