微分几何课后习题解答VIP免费

微分几何课后习题解答第二章曲面论§1 曲面的概念1. 求正螺面={ u,u , bv }的坐标曲线 .解 u- 曲线为={u,u ,bv}=｛0,0 ，bv ｝＋u {,,0} ，为曲线的直母线； v- 曲线为={,,bv } 为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面＝｛ a（u+v）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。证 u- 曲线为={ a（u+）, b（ u-）,2u}={ a, b,0}+ u{a,b,2}表示过点 { a, b,0} 以{a,b,2} 为方向向量的直线 ;v- 曲线为=｛a（+v）, b（-v ）,2v｝=｛a, b,0 ｝+v{a,-b,2}表示过点 (a, b,0) 以{a,-b,2} 为方向向量的直线。3．求球面=上任意点的切平面和法线方程。解=，=任意点的切平面方程为即 xcoscos+ ycossin+ zsin- a = 0 ；法线方程为。4．求椭圆柱面在任意点的切平面方程， 并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。解 椭圆柱面的参数方程为 x = cos, y = asin, z = t , , 。所以切平面方程为：，即 x bcos+ y asin－ a b = 0此方程与 t 无关，对于的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。5．证明曲面的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。证，。切平面方程为：。与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,) 。于是，四面体的体积为：是常数。§２ 曲面的第一基本形式1. 求双曲抛物面＝｛ a（u+v）, b （u-v ）,2uv ｝的第一基本形式 . 解,∴ I = 2。２．求正螺面={ u,u , bv } 的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直。解，，，，∴I =， Ｆ＝０，∴坐标曲线互相垂直。３．在第一基本形式为I =的曲面上，求方程为u = v的曲线的弧长。解 由条件, 沿曲线 u = v 有 du=dv ，将其代入得=，ds = coshvdv , 在曲线 u = v 上，从到的弧长为。4．设曲面的第一基本形式为I = ，求它上面两条曲线u + v = 0 ,u– v = 0的交角。分析 由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量，，，曲线 u + v = 0与 u – v = 0的交点为 u = 0, v = 0,交点处的第一类基本量为，，。曲线 u + v = 0 的方向为 du = -dv , u – v = 0的方向为δ u=δ v , 设两曲线的夹角为，则有cos=。5．求曲面 z =...