微分方程及其解几何意义分离变量方法VIP免费

1 / 6 1.2 微分方程基本概念及其几何解释[教学内容 ] 1. 介绍微分方程及其解的概念、方程分类; 2.介绍一阶微分方程及其解的几何解释; 3. 引入变量分离方法求解一阶微分方程; 4. 介绍积分常数由来引入微分方程定解条件--初值条件和边值条件. [教学重难点 ] 重点是知道微分方程分类和定解条件，难点是如何从几何角度来理解一阶微分方程及其解 . [教学方法 ] 自学 1、2；讲授 3、4，5 课堂练习[考核目标 ] 1. 会分清常微分方程和偏微分方程、能认清线性微分方程和非线性微分方程、能知道微分方程的阶数 ; 2. 会用分离变量方法求解一阶微分方程通解及其初值问题; 3. 知道函数相关性和函数无关性， 并会用 Jacobi 矩阵来判别 ; 4. 会用方向场和等倾线方法来描述微分方程解的性质 . 1. 认识微分方程及其类型)dxdysin(dxdyxy(5)1,ydxdy(4),ey(sin x)dxdy(3)y,dxdy(2)2x,dxdy)1(2x0,xdtxd2dtxd(9)0,ydtdyt dtdy(8),1tyt11dtdyt1tdtyd(7)22443220uyuβxuα(13)0,zuyuxu(12)0,xzyz(11)0,yuβxuα(10)2222222yx(1) 方程：是含有”未知 ”的等式，象532虽是等式但不是方程. 若未知的是一个数，那就是代数方程；若未知的是一个函数，那就是函数方程. 上面 13 个等式都是方程，未知的都是函数，因此上面13 表达式都是函数方程. (2) 常(偏)微分方程：函数方程中未知的是一元函数且含有其导函数，则称其为常微分方程（如上例 (1)-(9) ）；若函数方程未知的是多元函数且含有偏导数，则称为偏微分方程.(如上例(10)-(12)) (3) 线性 (非线性 )微分方程：若方程中出现的未知函数及其导函数或偏导函数都是一次的，则称其为线性微分方程，这里分类不管方程中自变量以何种函数形式出现。(1)-(3) 、(7)、(9)、(10)-(12) 都是线性的； (4)-(5) 、 (8)、（13）不是，出现未知函数2y 和'y sin . (4) 方程的阶数： 微分方程中出现的未知函数导函数或偏导函数最高阶数称之为方程的阶数. 例如 (1)-(5) 、(8)、(10) 、(13)都是一阶微分方程；(7)、(12)是二阶微分方程；(9)是四阶微分方程 . 练习 9. 教材 P26 习题 1. 2. 微分方程的解与定解条件考察落体问题，以铅直向上的方向建立直线坐标系，设落体在t 时刻位置为x，则由牛顿第2 / 6 二定律知，gx，其中 g 为重力加速度，负号是由于力方向和x 轴正向相反，22dtxdx. 考察函数1tt2gψ (t) x,t2gφ (t)x22，将上述两个函数代入方程gx，...