第二章习题 2-1 1. 试利用本节定义5 后面的注 （3）证明： 若 limnxn=a,则对任何自然数k，有 limnxn+k=a. 证：由 limnnxa ，知0 ，1N ，当1nN 时，有取1NNk ，有0 ， N ，设 nN 时（此时1nkN ）有由数列极限的定义得limn kxxa . 2. 试 利 用 不 等 式ABAB 说 明 ： 若 limnxn=a, 则 limn∣xn∣=|a|. 考 察 数 列xn=(-1)n，说明上述结论反之不成立. 证：而nnxaxa于是0 ，,使当时，有NnNnnxaxa即nxa由数列极限的定义得limnnxa考察数列( 1)nnx，知 limnnx 不存在，而1nx， lim1nnx，所以前面所证结论反之不成立。3. 利用夹逼定理证明：(1) limn222111(1)(2 )nnnL=0；(2) limn2!nn=0. 证：（1）因为222222111112(1)(2 )nnnnnnnnnnL而且21lim0nn，2lim0nn，所以由夹逼定理，得222111lim0(1)(2 )nnnnL. （2）因为22 2 22240!1 2 31nnnnng g gL gg，而且4lim0nn，所以，由夹逼定理得4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) xn=11ne，n=1,2, ⋯；(2) x1=2 ,xn+1＝2nx ,n=1,2, ⋯. 证：（1）略。（2）因为122x，不妨设2kx，则故有对于任意正整数n，有2nx，即数列nx有上界，又1( 2)nnnnxxxx，而0nx,2nx，所以10nnxx即1nnxx ，即数列是单调递增数列。综上所述，数列nx是单调递增有上界的数列，故其极限存在。习题 2-2 1※. 证明：0limxx f(x)=a 的充要条件是f(x)在 x0 处的左、右极限均存在且都等于a. 证： 先证充分性：即证若00lim( )lim( )xxxxf xf xa ，则0lim( )xx f xa . 由0lim( )xx f xa 及0lim( )xx f xa 知：10,0 ,当010xx时，有( )f xa，20 当020xx时，有( )f xa。取12min,，则当00xx或00xx时，有( )f xa，而00xx或00xx就是00xx，于是0,0 ，当00xx时，有( )f xa，所以0lim( )xx f xa . 再证必要性：即若0lim( )xx f xa ，则00lim( )lim( )xxxxf xf xa , 由0lim( )xx f xa知，0,0 ，当00xx时，有( )f xa，由00xx就 是00xx或00xx， 于 是0,0 ， 当00xx或00xx时，有( )f xa. 所以00lim( )lim( )xxxxf xf xa综上所述，0limxx f(x)=a 的充要条件是f(x)在 x0 处的左、右极限均存在且都等于a. 2. (1) 利用极限的几何意义确定0limx(x2+a),和0limx1ex ；(2) 设 f(x)= 12e ,0,,0,x xxa x，问常数 a 为何值时，0limxf(x)存在 . 解：（1）因为 x 无限接近于0 时，2xa...
