二重积分的计算方法VIP免费

1 1 利用直角坐标系计算 1.1 积分区域为 X 型或 Y 型区域时二重积分的计算 对于一些简单区域上的二重积分，可以直接化成二次积分来解决．在直角坐标系下，被积分函数( , )f x y 在积分区域 D 上连续时，若 D 为 x 型区域（如图 1），即12( , )( )( ),Dx yxxxaxb，其中12( ),( )xx在[ , ]a b 上连续，则有 21( )( )( , )( , )bxaxDf x y ddxf x y dy ； （1） 若 D 为 y 型区域（如图 2），即12( , )( )( ),Dx yyyycyd，其中12( ),( )yy在[ , ]c d 上连续，则有 21( )( )( , )( , )dycyDf x y ddyf x y dx ．[1] （2） 例 1 计算22Dy dx dyx，其中 D 是由2x ， yx，及1x y  所围成． 分析 积分区域如图 3 所示，为 x 型区域1D=,12,x yxyxx．确定了积分区域然后可以利用公式（1）进行求解． 解 积分区域为 x 型区域1D=,12,x yxyxx 则 2221221xxDyydxdydxdyxx 321213xxydxx y y =x x y =1 D2 D1 x O 2 1 1 2 图 3 图 1 2 251133xdxx221412761264xx 1.2 积分区域非X 型或Y 型区域二重积分的计算 当被积函数的原函数比较容易求出，但积分区域并不是简单的x 型或 y型区域，不能直接使用公式（1）或者（2）进行计算，这是可以将复杂的积分区域划分为若干 x 型或 y 型区域，然后利用公式 123( , )( , )( , )( , )DDDDf x y df x y df x y df x y d （3） 进行计算， 例 2 计算二重积分Dd，其中 D 为直线2 ,2yx xy及3xy所围成的区域． 分析：积分区域D 如图 5 所示，区域D 既不是 x 型区域也不是y 型区域，但是将可 D 划分为12,01,22,13,23xDx yxyxDx yxyyx均为 x 型区域，进而通过公式（3）和（1）可进行计算． 解 D 划分为 1,01,22xDx yxyx，2,13,23Dx yxyyx 则 12DDDddd12230122xxxxdxdydxdy 120112322xxdxxdx 12...