例题一、如图1,已知AB//CD,试找出B、BED和D的关系并证明。 我们找出他们的关系是:DBBED。证明如下: 方法一:如图2,过点E 作EF//AB。因为EFAB//,所以BBEF;因为CDAB//,EFAB//,所以CDEF //,所以DFED,所以DBFEDBEFBED。 方法二:如图3,过点E 作EF//AB。 因为EFAB//,所以1 8 0BBEF,即BBEF1 8 0;因为CDAB//,EFAB//,所以CDEF //,所以1 8 0DFED,即DFED1 8 0;因为3 6 0FEDBEDBEF,所以)1 8 01 8 0(3 6 0)(3 6 0DBFEDBEFBEDDB。 方法三:如图4,连接BD 。因为CDAB//,所以1 8 0BDCABD,即)(1 8 0EDBEBDEDCABE;在ΔBED中,)(1 8 0EDBEBDBED,所以EDCABEBED。 方法四:如图5,过点E 做ABFG ,垂足为点F,交 CD 于点G。因为CDAB//,所以9 01 8 0EFBEGD;在直角ΔEGD 中,DGED9 0,在直角ΔEFB中,BFEB90,所以)9090(180)(180BDFEBGEDBEDDB。 方法五:如图6,延长BE 交CD 于点F。因为CDAB//,所以BEFD;在ΔEFD中,FEDDEFD180,又因为FEDBED180,所以DBDEFDBED。 例题二、证明: 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形. 已知:如图1,在△ABC 中,AD=BD=CD. 求证:△ABC 是直角三角形. 证法1 如图1,利用两锐角互余. AD=CD,CD=BD, ∴∠1=∠A,∠2=∠B。 在△ABC 中, ∠A+∠B+∠ACB=180°, ∴∠A+∠B+∠1+∠2=180°, ∴2(∠A+∠B)=180°, ∴∠A+∠B=90°, ∴∠ACB=90°,∴△ABC 是直角三角形。 证法2 如图2,利用等腰三角形的三线合一. 延长AC 到 E 使 CE=AC,连接 BE. AD=BD, ∴CD 是△ABE 的中位线. ∴ BE21CD 。 AB21CD , ∴AB=BE. ∴BC⊥AC,∴△ABC 是直角三角形. 证法3 如图3,利用此三角形与某个直角三角形相似(或全等). 过点D 作DE⊥BC 交BC 于点E. ∴CD=BD, ∴ BC21BE , ∴21ABBDBCBE, ∠B 是公共角, ∴△BDE∽△BAC。 ∴∠ACB=∠DEB=90°,∴△ABC 是直角三角形。 证法4 如图4,利用如果一...