微分几何主要习题解答13 微分几何主要习题解答14 微分几何主要习题解答15 微分几何主要习题解答16 微分几何主要习题解答17 微分几何主要习题解答18 微分几何主要习题解答19 微分几何主要习题解答20 微分几何主要习题解答21 微分几何主要习题解答22 微分几何主要习题解答23 §1 曲面的概念1. 求正螺面 rr ={ uvcos ,u vsin, bv }的坐标曲线 . 解 u- 曲线为 rr ={u0cosv ,u 0sin v ,bv0 }={0,0 ,bv 0 }+u {0cosv ,0sin v ,0} ,为曲线的直母线; v- 曲线为 rr ={0uvcos,0uvsin,bv } 为圆柱螺线.2.证明双曲抛物面rr ={ a(u+v), b (u-v ),2uv }的坐标曲线就是它的直母线。证 u- 曲线为 rr ={ a(u+0v ), b(u-0v ),2u0v }={ a0v , b0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点 { a0v , b0v ,0} 以{a,b,20v } 为方向向量的直线 ; v- 曲线为 rr ={a(0u +v), b(0u-v ),20uv}={a0u , b0u,0 }+v{a,-b,20u}表示过点 (a0u , b0u,0) 以{a,-b,20u} 为方向向量的直线。3.求球面 rr =}sin,sincos,sincos{aaa上任意点的切平面和法线方程。解r =}cos,sinsin,cossin{aaa, r =}0,coscos,sincos{aa任意点的切平面方程为00coscossincoscossinsincossinsinsincoscoscosaaaaaazayax即 xcoscos + ycossin + zsin - a = 0 ;微分几何主要习题解答24 法线方程为sinsinsincossincoscoscoscoscosazayax。4.求椭圆柱面22221xyab在任意点的切平面方程, 并证明沿每一条直母线, 此曲面只有一个切平面。解 椭圆柱面22221xyab的参数方程为x = cos, y = asin, z = t , }0,cos,sin{bar , }1,0,0{tr。所以切平面方程为:01000cossinsincosbatzbyax,即 x bcos + y asin- a b = 0 此方程与 t 无关,对于的每一确定的值,确定唯一一个切平面,而的每一数值对应一条直母线,说明沿每一条直母线,此曲面只有一个切平面。5.证明曲面},,{3uvavur的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。证},0,1{23vuaru,},1,0{23uvarv。切平面方程为:33 zauvvyux。与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,uva23) 。于是,四面体的体积为:3329||3||3||361auvavuV是常数。§2 曲面的第一基本形式1. 求双曲抛物面 rr ={ a(u+v), b (u-v ),2uv }的第一基本形式 . 解,4},2,,{},2,,{2222vbarEubarvbaruvu微分几...