热点专题解读第二部分 专题六 函数的综合探究• 题型一 反比例函数的综合探究• 类型 1 反比例函数与特殊三角形的存在性问题常考题型 · 精讲例 1(2018·湖州)如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，已知△ABC，∠ABC＝90°，顶点 A 在第一象限，B，C 在 x轴的正半轴上(C 在 B 的右侧)，BC＝2，AB＝2 3，△ADC与△ABC 关于 AC 所在的直线对称．2• (1) 当 OB ＝ 2 时，求点 D 的坐标；• ☞ 解题步骤• 第一步：要得到点 D 的坐标，即要得到点 D 到横坐标与纵坐标的距离；• 第二步：作 DE⊥x 轴于 E ，根据已知条件与对称的性质以及解直角三角形，求出 DE 和 CE 即可得解．3【解答】如答图1，过点D作DE⊥x轴于点E. ∠ABC＝90°， ∴tan∠ACB＝ABBC＝ 3，∴∠ACB＝60°. 根据对称性可知DC＝BC＝2，∠ACD＝∠ACB＝60°， ∴∠DCE＝60°，∴∠CDE＝90°－60°＝30°， ∴CE＝1，DE＝ 3.∴OE＝OB＋BC＋CE＝5， ∴点D的坐标为(5， 3)． 4• (2) 若点 A 和点 D 在同一个反比例函数的图象上，求 OB 的长；• ☞ 解题步骤• 第一步：根据点 A 和点 D 在同一个反比例函数的图象上，可以将点 A和点 D 的坐标代入反比例函数中，列出等式；• 第二步：设出点 A 的坐标，表示出点 D 的坐标，列等式即可得解．【解答】设OB＝a，则点A的坐标(a,2 3)， 由(1)得CE＝1，DE＝ 3，∴D(3＋a， 3)． 点A，D在同一反比例函数图象上，∴2 3a＝ 3(3＋a)， 解得a＝3，即OB的长为3. 5 (3)如图2，将第(2)题中的四边形ABCD向右平移，记平移后的四边形为A1B1C1D1，过点D1的反比例函数y＝ kx (k≠0)的图象与BA的延长线交于点P.问：在平移过程中，是否存在这样的k，使得以点P，A1，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k的值；若不存在，请说明理由． 6• ☞ 解题步骤• 第一步：要使得以点 P ， A1 ， D 为顶点的三角形是直角三角形，则要分两种情形： (1) 当∠ PA1D ＝ 90° 时； (2) 当∠ PDA1 ＝ 90° 时；• 第二步：在这两种情况下，根据反比例函数的性质，解直角三角形及相似三角形的性质列等式求解即可． 7【解答】存在．①如答图2，当∠PA1D＝90°时， AD∥PA1，∴∠ADA1＝180°－∠PA1D＝90°. 在Rt△ADA1中， ∠DAA1＝30°，AD＝23 ，∴AA1＝ADcos30° ＝4.在Rt△APA1中， ∠APA1＝60°，∴PA＝4 33 ， ∴P...
