1 三角形中作辅助线的常用方法举例 一、延长已知边构造三角形： 例如：如图7-1：已知AC＝BD，AD⊥AC 于A ，BC⊥BD 于B， 求证：AD＝BC 分 析 ： 欲 证 AD＝ BC， 先 证 分 别 含 有 AD， BC 的 三 角 形 全 等 ， 有 几 种 方 案 ： △ADC 与 △BCD，△AOD 与 △BOC， △ABD 与 △BAC， 但 根 据 现 有 条 件 ， 均 无 法 证 全 等 ， 差 角 的 相 等 ， 因 此 可设 法 作 出 新 的 角 ， 且 让 此 角 作 为 两 个 三 角 形 的 公 共 角 。 证明：分别延长DA，CB，它们的延长交于E 点， AD⊥AC BC⊥BD （已知） ∴∠CAE＝∠DBE ＝90° （垂直的定义） 在△DBE 与△CAE 中 )()()(已知已证公共角ACBDCAEDBEEE ∴△DBE≌△CAE （AAS） ∴ED＝EC EB＝EA （全等三角形对应边相等） ∴ED－EA＝EC－EB 即：AD＝BC。 （当条 件 不足时， 可 通过添加辅助线得出 新 的 条 件 ， 为 证 题创造条 件 。） 二 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。 三、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。 例如：如图9-1：在 Rt△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD 的延长于E 。求证：BD＝2CE 分 析 ： 要证 BD＝ 2CE， 想到要构造线段 2CE， 同时 CE19 图DCBAEF12ABCDE17 图O 2 与 ∠ABC 的 平 分 线 垂 直 ， 想 到 要 将 其 延 长 。 证明：分别延长BA，CE 交于点F。 BE⊥CF （已知） ∴∠BEF＝∠BEC＝90° （垂直的定义） 在△BEF 与△BEC 中， )()()(21已证公共边已知BECBEFBEBE ∴△BEF≌△BEC（ASA）∴CE=FE= 21CF （全等三角形对应边相等） ∠BAC=90° BE⊥CF （已知） ∴∠BAC＝∠CAF＝90° ∠1＋∠BDA＝90°∠1＋∠BFC＝90° ∴∠BDA＝∠BFC 在△ABD 与△ACF 中 )()()(已知＝已证已证ACABBFCBDACAFBAC ∴△ABD≌△ACF （AAS）∴BD＝CF （全等三角形对应边相等） ∴BD＝2CE 四、取线段中点构造全等三有形。 例如：如图 11-1：AB＝DC，∠A＝∠D 求证：∠ABC＝∠DCB。 分 析 ： 由 AB＝ DC， ∠A＝ ∠D， 想 到 如 取 AD 的 中 点 N， 连 接 NB， NC， 再 由 SAS 公 理 有 △ABN≌△DCN，...
