第九章 几何问题的转换 解析几何 几何问题的转换 一、基础知识： 在圆锥曲线问题中，经常会遇到几何条件与代数条件的相互转化，合理的进行几何条件的转化往往可以起到“四两拨千斤”的作用，极大的简化运算的复杂程度，在本节中，将列举常见的一些几何条件的转化。 1、在几何问题的转化中，向量是一个重要的桥梁：一方面，几何图形中的线段变为有向线段后可以承载向量；另一方面，向量在坐标系中能够坐标化，从而将几何图形的要素转化为坐标的运算，与方程和变量找到联系 2、常见几何问题的转化： （1）角度问题： ① 若与直线倾斜角有关，则可以考虑转化为斜率k ② 若需要判断角是锐角还是钝角，则可将此角作为向量的夹角，从而利用向量数量积的符号进行判定 （2）点与圆的位置关系 ① 可以利用圆的定义，转化为点到圆心距离与半径的联系，但需要解出圆的方程，在有些题目中计算量较大 ② 若给出圆的一条直径，则可根据该点与直径端点连线的夹角进行判定：若点在圆内，ACB为钝角（再转为向量：0CA CB；若点在圆上，则ACB为直角（0CA CB）；若点在圆外，则ACB为锐角（0CA CB） （3）三点共线问题 ① 通过斜率：任 取 两点求 出斜率，若斜率相等 ，则三点共线 ② 通过向量：任 取 两点确 定向量，若向量共线，则三点共线 （4）直线的平 行垂 直关系：可转化为对 应 向量的平 行与垂 直问题，从而转为坐标运算： 1122,,,ax ybx y，则 ,a b 共线1221x yx y；ab12120x xy y （5）平 行（共线）线段的比 例 问题：可转化为向量的数乘 关系 （6）平 行（共线）线段的乘 积问题：可将线段变为向量，从而转化为向量数量积问题（注意 向量的方向是同 向还是反 向） 第九章 几何问题的转换 解析几何 3、常见几何图形问题的转化 （1）三角形的“重心”：设不共线的三点 112233,,,,,A x yB x yC x y ，则 ABC 的重心123123,33xxx yyyG （2）三角形的“垂心”：伴随着垂直关系，即顶点与垂心的连线与底边垂直，从而可转化为向量数量积为零 （3）三角形的“内心”：伴随着角平分线，由角平分线性质可知（如图）：,IPAC IQAQ I 在BAC的角平分线上AI ACAI ABAPAQACAB （4）P 是以,DA DB 为邻边的平行四边形的顶点DPDADB （5）P 是以,DA DB 为邻边的菱形的顶点：...
