幂法求矩阵A按模最大的特征值及其特征向量VIP专享VIP免费

数 值分析 幂 法 求 矩 阵 A 按 模 最 大 的 特 征 值及其特 征 向量 幂 法 的 主要 思 想 设 nnijRaA)( ,其 特 征 值 为i ,对 应 特 征 向 量 为),,,1(nixi 即 iiixAx ),,1(ni， 且 x1， ······， xn 线 性 无 关 。求 矩 阵A的 主 特 征 值 及 对 应 的 特 征 向 量 。 幂 法 的 基 本 思 想 : 任 取 一 个 非 零 初 始 向 量 v0 ∈Rn 且 v0≠0，由 矩 阵 A 的 乘 幂 构 造 一 向 量 序 列 ： 称 {vk}为 迭 代 向 量 ， A 特 征 值 中 λ1 为 强 占 优 ， 即 ▕ λ1▕＞ ▏λ2 ▏＞ ······＞ ▏λn ▏, {x1， x2， ······， xn}线 性 无 关 ， 即 {x1， x2， ······， xn}为 Rn 中 的 一个 基 ， 于 是 对 任 意 的 初 始 向 量 v0 ∈Rn 且 v0≠0 有 展 开 式 。 (v0 用 {xi } 的 线 性 组 合 表 示 ) （ 且 设01 ） 则 当 k =2,3,… 时，vk =A vk-1 =Ak v0 01Avv 0212vAAvv011vAAvvkkk),,1,0(nkniii xv10)(221101nnxxxAvAvnnxAxAxA2211nnnxxx222111)(111xkk 其 中 由 假 设 ▕ λ1▕＞ ▏λ2 ▏＞ ······＞ ▏λn ▏， 得 ， 从而 即,0lim kk且 收 敛 速 度 由 比 值||12r 确 定 。 所 以 有 说 明 ， 当k 充 分 大 时 ， 有111xvkk ， 或 kkv1 越 来 越 接 近 特 征向 量 规 范 化幂法的算法 ①输 入 矩 阵 A、初 始 向 量 v(0)， 误 差eps， 实 用 中 一 般 取 v(0)=（ 1， 1， ···， 1） T； ②k←1； ③计 算 v(k) ←Au(k-1)； ④mk←max{ v(k) }， mk-1←{ v(k-1) }； ⑤u(k) ←v(k)/ mk； ⑥如 果 ▕ mk - mk-1▕＜ eps， 则 显 示 特 征 值 λ1←和 对 应 的 特 征 向量 x(1)， 终 止 ； ⑦k=k+1， 转③。 nknnkkxx)()(12122),,2(1||1nii),,,2(0)(lim1nikik111limxvkkk 。11x 幂 法 - C ...