数列难题汇编详解1VIP专享VIP免费

1 1. 设数列 {a n} 的前 n 项和 Sn=na＋n（n-1 ）b（ n=1、2，⋯） a、b 是常数，且b 0．（1）证明 {a n} 是等差数列．（2）证明以（ an， Snn-1 ）为坐标的点Pn都落在同一条直线上，并写出此直线的方程。(1) 略； (2)x-2y＋a-2=0. 2. 设 f(n)=1+12131n，是否存在g(n) 使等式 f(1) ＋ f(2) ⋯＋ f(n-1)=g(n)f(n)-g(n)对 n≥2 的一切自然数都对立，并证明你的结论。答： g(n)=n 3. 已知一个圆内有n 条弦， 这 n 条弦中每两条都相交于圆内的一点，且任何三条不共点，试证：这 n 条弦将圆面分割成1+n21+n21=)n(f2个区域。答： n=k+1 时，第 k+1 条弦被前 k 条弦分成 k+1 段，增加了 k+1 个区域，故共有223211)(2kkkkf个区域。此时，22321)1(2kkkf. 4. 已知数列 {a n} 满足条件：a1=1，a2=r ，(r>0) 且{a nan+1}是公比为 q(q>0) 的等比数列，设 bn=a2n-1＋a2n(n=1 ，2，⋯ ) ，(1) 求出使不等式anan+1＋an+1an+2>an+2an+3(nN)成立的 q 的取值范围；(2) 求 bn和 limnnS1 ，其中 Sn=b1＋b2＋⋯＋ bn；(3) 设 r=219.2-1 ，q= 12，求数列 {n21+n2blogblog} 的最大项与最小项的值。答： (1)(0 ， 152) ；(2)bn=(1 ＋r)qn-1 ， limnnS1110101qrqq()()；(3) 当 n=20 时，最小项为 -4 ，当 n=21 时，最大项为2.25 5. 设等差数列 {a n} 的前 n 项和为 Sn. 已知 a3=12, S12＞0,S 13＜ 0. ( Ⅰ) 求公差 d 的取值范围；( Ⅱ) 指出 S1,S 2, ⋯,S 12, 中哪一个值最大, 并说明理由 . 解： ( Ⅰ)依题意 , 有02)112(1212112?daS2 02)113(1313 113? daS，即)2(06)1(011211dada由 a3=12, 得 a1=12－2d (3) 将(3) 式分别代入 (1),(2)式, 得030724dd，∴3724d. ( Ⅱ) 由 d＜0 可知 a 1＞a2＞ a3＞⋯＞ a12＞a13. 因此 , 若在 1≤n≤12 中存在自然数n, 使得 an＞ 0,a n+1＜0, 则 Sn 就是 S1,S 2, ⋯,S 12中的最大值 . 由于 S12=6(a 6+a7) ＞0, S13=13a7＜0，即 a 6+a7＞0, a7＜ 0. 由此得 a6＞－ a7＞0. 因为 a6＞0, a7＜0, 故在 S1,S 2, ⋯,S 12中 S6 的值最大 . 6. 有两个无穷的等比数列{na } 和 {nb }, 它们的公比的绝对值都小于1, 它们的各项和分别是 1 和 2, 并且对于一切自然数n, 都有nnba2, 试求这两个数列的首项和公比. 解：设首项分别为a 和 b, 公...