高中数学均值不等式VIP免费

（一） 知识内容 1．均值定理：如果,a bR （R 表示正实数），那么2abab≥，当且仅当ab时，有等号成立． 此结论又称均值不等式或基本不等式． 2．对于任意两个实数,a b ，2ab叫做,a b 的算术平均值，ab 叫做,a b 的几何平均值． 均值定理可以表述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值． 3．两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值． <教师备案>1．在利用均值定理求某些函数的最值时，要注意以下几点： ⑴函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不等式，在同负时可以先进行 转化，再运用均值不等式； ⑵函数式中含变数的各项的和或积必须是常数； ⑶只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值．否则不能由 均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值． 运用均值不等式的前提有口诀：一正二定三相等． 2.均值不等式的几何解释：半径不小于半弦． ⑴对于任意正实数,a b ，作线段ABab，使,ADa DBb； ⑵以AB 为直径作半圆O ，并过D 点作CDAB于D ， 且交半圆于点C ； ⑶连结,,AC BC OC ，则2abOC， ,ACBC CDAB ∴ CDAD BDab， 当ab时，在Rt COD中， 有2abOCCDab． 当且仅当ab时，,O D 两点重合，有2abOCCDab． 3．已知：abR、（其中R 表示正实数）， 有以下不等式：222211222ababababab≥≥≥≥ 其中222ab称为平方平均数，2ab称为算术平均数， ab 称为几何平均数，211ab称为调和平均数． CODBA 均值不等式 证明：2222210224ababab≥ ∴222222abab≥ abR、，∴2222abab≥，当且仅当“ ab” 时等号成立． 221 ()0224ababab≥ ∴222abab≥，当且仅当“ ab” 时等号成立． 221 ()024ababab≥ ∴22abab≥，当且仅当“ ab” 时等号成立． ∴22()211ababababababababab(2)ab ababab 2()0ababab≥ ∴211abab≥，当且仅当“ ab” 时等号成立． 了解这组不等式对解决一些不等式的证明题会有帮助，可选择性介绍． （三）典例分析： 1.基础不等...