点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用VIP专享VIP免费

第 1 页 共 1 7 页 2012年高中数学竞赛讲座 在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用。 1. 点共线的证明 点共线的通常证明方法是：通过邻补角关系证明三点共线；证明两点的连线必过第三点；证明三点组成的三角形面积为零等。n(n≥4)点共线可转化为三点共线。 例 1 如图，设线段 AB的中点为C，以 AC和 CB为对角线作平行四边形AECD，BFCG。又作平行四边形CFHD，CGKE。求证：H，C，K三点共线。 证 连AK，DG，HB。 由题意，ADECKG，知四边形AKGD是平行四边形，于是AKDG。同样可证AKHB。四边形AHBK是平行四边形，其对角线AB，KH互相平分。而 C是AB中点，线段 KH过C点，故 K，C，H三点共线。 ABCDEFHKG 第 2 页 共 1 7 页 例2 如图所示，菱形ABCD中，∠A=120°，O为△ABC外接圆，M为其上一点，连接 MC交 AB于 E，AM交 CB延长线于 F。求证：D，E，F三点共线。 证 如图，连 AC，DF，DE。 因为 M在O上， 则∠AMC=60°=∠ABC=∠ACB， 有△AMC∽△ACF，得 CDCFCACFM AM C。 又因为∠AMC=BAC，所以△AMC∽△EAC，得 AEADAEACM AM C。 所以AEADCDCF，又∠BAD=∠BCD=120°，知△CFD∽ △ADE。所以∠ADE=∠DFB。因为 AD∥BC，所以∠ADF=∠DFB=∠ADE，于是 F，E，D三点共线。 例3 四边形ABCD内接于圆，其边 AB与 DC的延长线交于点 P，AD与 BC的延长线交于点 Q。由 Q作该圆的两条切线 QE和 QF，切点分别为 E，F。求证：P，E，F三点共线。 OAFDMCBECE(E')ABDFPMQG 第 3 页 共 1 7 页 证 如图。 连接PQ，并在PQ上取一点M，使得 B，C，M，P四点共圆，连CM，PF。设PF与圆的另一交点为E’，并作QG丄PF，垂足为G。易如 QE2=QM·QP=QC·QB ① ∠PMC=∠ABC=∠PDQ。 从而 C，D，Q，M四点共圆，于是 PM·PQ=PC·PD ② 由①，②得 PM·PQ+QM·PQ=PC·PD+QC·QB， 即 PQ2=QC·QB+PC·PD。 易知 PD·PC=PE’·PF，又 QF2=QC·QB，有 PE’·PF+QF2=PD·PC+QC·AB=PQ2， 即 PE’·PF=PQ2-QF2。又 PQ2－QF2=PG2－GF2=(PG+GF)·(PG－GF) =PF·(PG－GF)， 从而 PE’=PG－GF=PG－GE’，即 GF=GE’，故 E’与E重合。 所以 P，E，F三点共线。 第 4 页 共 1 7 页 例4 以圆O外一点P，引圆的两条切线PA，PB，A，B为切点。割线PCD交圆O于C，D。又由B作CD的平行线交圆O于E。若F为CD中点，求证：A，F，E三点共线。 证 如图，...