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点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用VIP免费

点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用_第1页
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第 1 页 共 1 7 页 2012年高中数学竞赛讲座 在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用。 1. 点共线的证明 点共线的通常证明方法是:通过邻补角关系证明三点共线;证明两点的连线必过第三点;证明三点组成的三角形面积为零等。n(n≥4)点共线可转化为三点共线。 例 1 如图,设线段 AB的中点为C,以 AC和 CB为对角线作平行四边形AECD,BFCG。又作平行四边形CFHD,CGKE。求证:H,C,K三点共线。 证 连AK,DG,HB。 由题意,ADECKG,知四边形AKGD是平行四边形,于是AKDG。同样可证AKHB。四边形AHBK是平行四边形,其对角线AB,KH互相平分。而 C是AB中点,线段 KH过C点,故 K,C,H三点共线。 ABCDEFHKG 第 2 页 共 1 7 页 例2 如图所示,菱形ABCD中,∠A=120°,O为△ABC外接圆,M为其上一点,连接 MC交 AB于 E,AM交 CB延长线于 F。求证:D,E,F三点共线。 证 如图,连 AC,DF,DE。 因为 M在O上, 则∠AMC=60°=∠ABC=∠ACB, 有△AMC∽△ACF,得 CDCFCACFM AM C。 又因为∠AMC=BAC,所以△AMC∽△EAC,得 AEADAEACM AM C。 所以AEADCDCF,又∠BAD=∠BCD=120°,知△CFD∽ △ADE。所以∠ADE=∠DFB。因为 AD∥BC,所以∠ADF=∠DFB=∠ADE,于是 F,E,D三点共线。 例3 四边形ABCD内接于圆,其边 AB与 DC的延长线交于点 P,AD与 BC的延长线交于点 Q。由 Q作该圆的两条切线 QE和 QF,切点分别为 E,F。求证:P,E,F三点共线。 OAFDMCBECE(E')ABDFPMQG 第 3 页 共 1 7 页 证 如图。 连接PQ,并在PQ上取一点M,使得 B,C,M,P四点共圆,连CM,PF。设PF与圆的另一交点为E’,并作QG丄PF,垂足为G。易如 QE2=QM·QP=QC·QB ① ∠PMC=∠ABC=∠PDQ。 从而 C,D,Q,M四点共圆,于是 PM·PQ=PC·PD ② 由①,②得 PM·PQ+QM·PQ=PC·PD+QC·QB, 即 PQ2=QC·QB+PC·PD。 易知 PD·PC=PE’·PF,又 QF2=QC·QB,有 PE’·PF+QF2=PD·PC+QC·AB=PQ2, 即 PE’·PF=PQ2-QF2。又 PQ2-QF2=PG2-GF2=(PG+GF)·(PG-GF) =PF·(PG-GF), 从而 PE’=PG-GF=PG-GE’,即 GF=GE’,故 E’与E重合。 所以 P,E,F三点共线。 第 4 页 共 1 7 页 例4 以圆O外一点P,引圆的两条切线PA,PB,A,B为切点。割线PCD交圆O于C,D。又由B作CD的平行线交圆O于E。若F为CD中点,求证:A,F,E三点共线。 证 如图,...

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