1 第四章 方差分量线性回归模型 本章考虑的线性模型不仅有固定效应、随机误差，而且有随机效应。我们先从随机效应角度理解回归概念，导出方差分量模型，然后研究模型三种主要解法。最后本章介绍关于方差分量模型的两个前沿研究成果，是作者近期在《应用数学学报》与国际数学杂志《Communications in Statistics》上发表的。 第一节 随机效应与方差分量模型 一、随机效应回归模型 前面所介绍的回归模型不仅都是线性的，而且自变量看作是固定效应。我们从资料对npiiiXXY11},,{出发建立回归模型，过去一直是把Y 看作随机的，X1，…，Xp 看作非随机的。但是实际上，自变量也经常是随机的，而并不是我们可以事先设计好的设计矩阵。我们把自变量也是随机变量的回归模型称为随机效应回归模型。 究竟一个回归模型的自变量是随机的还是非随机的，要视具体情况而定。比如一般情况下消费函数可写为 )(0TXbCC （4.1.1） 这里 X 是居民收入，T 是税收，C0 是生存基本消费，b 是待估系数。加上随机扰动项，就是一元线性回归模型 )(0TXbCC （4.1.2） 那么自变量到底是固定效应还是随机效应?那要看你采样情况。如果你是按一定收入的家庭去调查他的消费，那是取设计矩阵，固定效应。如果你是随机抽取一些家庭，不管他收入如何都登记他的收入与消费，那就是随机效应。 对于随机效应的回归模型，我们可以从条件期望的角度推导出与最小二乘法则等价的回归函数。 我们希望通过X 预测 Y，也就是要寻找一个函数),,()(1pXXMXMY，当 X 的观察值为 x 时，这个预测的误差平均起来应达到最小，即 22)]([min)]([XLYEXMYEL （4.1.3 ） 2 这里min 是对一切X 的可测函数L(X)取极小。由于当 )|()(XYEXM （4.1.4） 时，容易证明 0)]()()][([XLXMXMYE （4.1.5） 故当)|()(XYEXM时， 222)]()([)]([)]([XLXMEXMYEXLYE （4.1.6 ） 要使上式左边极小，只有取)|()()(XYEXMXL。 这个结果告诉我们，预测函数取作条件期望 E(Y|X)时，可使预测误差最小。我们还可以证明，此时 M(X)=E(Y|X)与 Y 具有最大相关，即 ))(,( max))(,(LXLYXMY （4.1.7 ） 这里ρ 表示相关系数。 这是因 为 当)|()(XYEXM时 ， 易 证))(),((Cov))(,(CovXLXMXLY, 同 时))(),((Cov))(,(CovXMXMXMY,于是 ))(,( ))(,())(),(( )]([)]([)()]([)]([)]([))(),((Cov )]([)())(,(Cov)](...
