组合数学第四版卢开澄标准答案第四章VIP免费

【第 1 页 共 9 页】 习 题 四 4 .1 . 若群G 的元素a 均可表示为某一元素x 的幂，即a = xm，则称这个群为循环群。若群的元素交换律成立，即a , b G 满足 ab = ba 则称这个群为阿贝尔(Abel)群，试证明所有的循环群都是阿贝尔群。 [证].设循环群(G, )的生成元是 x0G 。于是，对任何元素a , b G，m，nN，使得 a= x0m , b= x0n ,从而 ab = x0m  x0n = x0m +n (指数律) = x0n +m (数的加法交换律) = x0n  x0m (指数律) = ba 故  运算满足交换律；即(G, )是交换群。 4 .2 . 若x 是群G 的一个元素，存在一个最小的正整数 m，使 xm=e，则称m 为x 的阶，试证： C={e,x,x2, ,xm-1} 是 G 的一个子群。 [证].(1)非空性 C ：因为eG； (2)包含性 CG：因为x G，根据群G 的封闭性，可知 x2, ,xm-1, (xm=)eG，故 CG； (3)封闭性a , b C a  b C： a , b C，k，lN (0 k