球的内接计算问题VIP免费

球的内接计算问题引入：球是我们日常生活中见到的一种非常优美的几何体，今天我们学习---------球的内接计算问题。2.球表面积公式:球体积公式：24RS334RV一．基础梳理1.如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.例1.（2014陕西高考理第5题）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）二．典例讲解题型一球的内接长方体与正方体2解析：因为正四棱柱的各顶点在同一球面上，所以正四棱柱是球的内接正四棱柱。正四棱柱又是长方体，它的体对角线就是外接球的直径。222)2(112R341343433RVD设球的半径为R,有，得R=1，所以该球体积为故选.点评：本题考查正四棱柱和球的几何特征，以及球的体积计算公式。关键是作出图形找到正四棱柱中与球直径有关的量，求出球半径。变式1．（2013年高考天津卷文第10题）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为,则正方体的棱长为______.29解析：设球的半径为r，因为球的体积为，所以，球半径为。设正方体的棱长为a，则正方体的体对角线为球的直径，即，解得。2923rra233a29343r题型二球的内接棱柱与棱锥例2.(2013年高考辽宁卷文第10题，理第12题）已知三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AA1=12,AB⊥AC,则球O的半径为（）解析：因为△ABC是直角三角形，所以外接圆圆心是斜边BC中点M。由球心O作面ABC的垂线,则垂足为BC中点M。计算，25AM2136)25(22RC由垂径定理，OM=6，所以半径,故选.点评：本题考查三棱柱和球的几何特征，球的半径计算以及补形法.另法：本题还可以把三棱柱补成长方体，利用题型一来求解.变式2【2014大纲高考理第8题，文第10题】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）解析：如图，设球的半径为R，球心为O，正四棱锥底面中心为为E,则OE垂直棱锥底面，由已知条件可知球心在正四棱锥的高PE上，在Rt△ABC中，由勾股定理，得,222OAAEOE222)2()4(RR48142RSA49R所以，解得，所以球的表面积，故选.变式3.(2012全国新课标理11)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）解析：如图，△ABC的外接圆的半径。设球的半径为R，则R=1。点O到面ABC的距离3312332r62362433131SNSVABC36)33(12222rROM因为SC为球的直径，所以点S到面ABC的距离为此棱锥的体积为另法：排除B,C,D13236ABCVSR变式4．（2013年高考课标Ⅱ卷文第15题）已知正四棱锥O-ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积________。3223解析：如图，设正四棱锥的高为h，则，解得高。则底面正方形的对角线为223)3(312h223h6326)26()223(22OA24)6(42所以,所以球的表面积为2.解决球的内接问题的关键是准确作出图形，找出多面体的有关量与球的半径（或直径）之间的关系。基本方法是构造法，一是构造直角三角形，解直角三角形即可；二是构造长方体或正方体，求出有关的量。三．小结1.多面体外接球的问题，是高考的一个考点，考查的是空间想象能力，等价转化能力以及运算能力.