结束数列求和的3——种方法分组转化、裂项相消和错位相减高考研究课（三）数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想：1转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成.2不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和.结束数列求和的3——种方法分组转化、裂项相消和错位相减一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减．[典例]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an，数列{bn}满足b1＝3，b2＝6，且{bn－an}为等差数列．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和Tn.分组转化求和法[解](1)由题意知数列{an}是首项a1＝1，公比q＝2的等比数列，所以an＝2n－1；因为b1－a1＝2，b2－a2＝4，所以数列{bn－an}的公差d＝2，所以bn－an＝(b1－a1)＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n，所以bn＝2n＋2n－1.(2)Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋(1＋2＋4＋…＋2n－1)结束数列求和的3——种方法分组转化、裂项相消和错位相减(1)若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和．(2)若数列{cn}的通项公式为cn＝an，n为奇数，bn，n为偶数，其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前n项和．[方法技巧]结束数列求和的3——种方法分组转化、裂项相消和错位相减[即时训练]已知等比数列{an}中，首项a1＝3，公比q＞1，且3(an＋2＋an)－10an＋1＝0(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＋13an是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{bn}的通项公式和前n项和Sn.解：(1) 3(an＋2＋an)－10an＋1＝0，∴3(anq2＋an)－10anq＝0，即3q2－10q＋3＝0. 公比q＞1，∴q＝3.又首项a1＝3，∴数列{an}的通项公式为an＝3n.结束数列求和的3——种方法分组转化、裂项相消和错位相减解： bn＋13an是首项为1，公差为2的等差数列，∴bn＋13an＝1＋2(n－1)．即数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1－3n－1，Sn＝－(1＋3＋32＋…＋3n－1)＋[1＋3＋…＋(2n－1)]＝－12(3n－1)＋n2.已知等比数列{an}中，首项a1＝3，公比q＞1，且3(an＋2＋an)－10an＋1＝0(n∈N*)．(2)设bn＋13an是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{bn}的通项公式和前n项和Sn.结束数列求和的3——种方法分组转化、裂项相消和错位相减把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．在相加抵消过程中，有的是依次抵消，有的是间隔抵消，特别是间隔抵消时要注意规律性．一般地，若{an}为等差数列，则求数列1anan＋1的前n项和可尝试此方法，事实上，1anan＋1＝ddanan＋1＝an＋1－andanan＋1＝1d·1an－1an＋1.裂项相消求和法结束数列求和的3——种方法分组转化、裂项相消和错位相减[典例](2017·沈阳质检)已知数列an是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.(1)求数列an的通项公式；(2)设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝an＋1SnSn＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.[解](1)由题设知a1a4＝a2a3＝8，又a1＋a4＝9，可解得a1＝1，a4＝8或a1＝8，a4＝1(舍去)．设等比数列{an}的公比为q，由a4＝a1q3得q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1，nN∈*.结束数列求和的3——种方法分组转化、裂项相消和错位相减[解]Sn＝(a11－qn)1－q＝2n－1，又bn＝an＋1SnSn＋1＝Sn＋1－SnSnSn＋1＝1Sn－1Sn＋1，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1S1－1S2＋1S2－1S3＋…＋1Sn－1Sn＋1＝1S1－1Sn＋1＝1－12n＋1－1，n∈N*.(2017·沈阳质检)已知数列an是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.(2)设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝an＋1SnSn＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.结束数列求和的3——种方法分组转化、裂项相消和错位相减1．用裂项法求和的裂项原则及规律(1)...
