最大公因数与最小公倍数应用（一）一、知识要点：1、性质 1：如果 a、b 两数的最大公因数为d，则 a=md,b=nd,并且（ m,n）=1。例如：（24,54）=6,24=4×6,54=9×6，（4,9）=1。2、性质 2：两个数的最小公倍数与最大公因数的乘积等于这两个数的乘积。a 与 b 的最小公倍数 [a,b]是 a 与 b 的所有倍数的最大公因数， 并且 a×b=[a,b]×（ a,b）。例如：（ 18，12）= ，[18，12]= （18，12）×[18，12]=3、两个数的公因数一定是这两个数的最大公因数的因数。3、辗转相除法二、热点考题：例 1 两个自然数的最大公因数是6，最小公倍数是72。已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。练一练：甲数是 36，甲、乙两数的最大公因数是4，最小公倍数是 288，求乙数。例 2 两个自然数的最大公因数是7，最小公倍数是 210。这两个自然数的和是77，求这两个自然数。分析与解：如果将两个自然数都除以7，则原题变为：“两个自然数的最大公因数是 1，最小公倍数是 30。这两个自然数的和是11，求这两个自然数。”例 3 已知 a 与 b，a 与 c 的最大公因数分别是12 和 15，a，b，c 的最小公倍数是 120，求 a，b，c。分析与解：因为 12，15 都是 a 的因数，所以 a 应当是 12 与 15 的公倍数，即是[12，15]=60 的倍数。再由 [a，b，c]=120 知， a 只能是 60 或 120。[a，c]=15，说明 c 没有质因数 2，又因为 [a，b，c]=120=23×3×5，所以 c=15。练一练：已知两数的最大公因数是21，最小公倍数是 126，求这两个数的和是多少例 4 已知两个自然数的和是50，它们的最大公因数是5，求这两个自然数。例 5 已知两个自然数的积为240，最小公倍数为 60，求这两个数。习题四1．已知某数与 24 的最大公因数为 4，最小公倍数为 168，求此数。2．已知两个自然数的最大公因数为4，最小公倍数为 120，求这两个数。3．已知两个自然数的和为165，它们的最大公因数为15，求这两个数。4．已知两个自然数的差为48，它们的最小公倍数为60，求这两个数。5．已知两个自然数的差为30，它们的最小公倍数与最大公因数的差为450，求这两个自然数。6．已知两个自然数的和为147，它们的最大公因数与最小公倍数的乘积为432，求这两个自然数。7、五年一班去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船坐6 个，如果减少一条船，正好每船坐9 人，这个班有多少人8、一个数被 2 除余 1，被 3 除余 2，被 4 除余 3...
