近世代数课后习题参考答案(张禾瑞)4VIP专享VIP免费

近世代数课后习题参考答案 第四章 整环里的因子分解 1 素元、唯一分解 1 . 证明：0 不是任何元的真因子。 证 当0a时 若ba0则0a故矛盾 当0a时，有00 （ 是单位） 就是说0 是它自己的相伴元 2 . 我们看以下的整环I ，I 刚好包含所有可以写成 mmn (2是任意整数，0n的整数） 形式的有理数，I 的哪些个元是单位，哪些个元是素元？ 证 １）I 的单位 总可以把m 表为 ppmk(2是０或奇数，k 非负整数）我们说 1p时，即 km2是单位，反之亦然 ２）I 的素元 依然是kppmk,(2的限制同上） 我们要求 ⅰ）0p ⅱ）1p ⅲ）pk2只有平凡因子 满足ⅰ）—— ⅲ）的p是奇素数 故 pmk2而 p是奇素数是nm2是素元，反之亦然， ３． I 是刚好包含所有复数babia,(整数）的整环，证明5 不是I 的素元，5 有没有唯一分解？ 证 （1 ）I 的元 是单位，当而且只当12 时， 事实上，若 bia 是单位 则 11  2'221 即2'21 但222ba 是一正整数，同样2'也是正整数， 因此，只有12  反之，若1222ba，则0,1ba 或1,0ba这些显然均是单位 此外，再没有一对整数ba,满足122 ba，所以I 的单位只有i ,1。 （２）适合条件52 的I 的元 一定是素元。 事实上，若52 则0 又由)1(也不是单位 若2225, 则12 或52  12是单位12是 的相伴元 1522是单位1是 的相伴元 不管哪种情形， 只有平凡因子，因而 是素元。 （３） I 的元5 不是素元。 若5则222 5 这样，2只可能是2 5,5,1 当52 由)1( 是单位 当1522由 )1( 是单位 此即,中有一是5 的相伴元 现在看52 的情形 5,222babia可能的情形是 21ba 21ba 1ba 21ba 1ba  1ba 12ba  1ba 显然)2)(2(5ii 由（２）知52 的 是素元，故知５是素元之积 （４）５的单一分解 )21)(21(5ii)21)(1)(21)(1(ii )21)()(21)(()21)()(21)((iiiiiiii i ,1均为单位 ２ 唯一分解环 １．证明本节的推论 证 本节的推论是；...