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指数的扩充及其运算性质新知初探·思维启动1.分数指数幂给定正实数a,对于任意给定的整数m,n(m,n互素),存在唯一的正实数b,使得bn=am,就把b叫作________________,记作_______________.它就是分数指数幂.没有意义0由于有理数分为整数和分数,则引入分数指数幂的概念后,指数概念就实现了由整数指数幂向有理数指数幂的扩充.想一想做一做答案:A其中m,n∈N+.当a>0,b>0时,对任意实数m,n都满足上述性质,上述五条运算性质也可以归纳为三条:(1)aman=__________;(2)(am)n=_______;(3)(ab)n=__________.am+namnanbn3.无理数指数幂对于无理数指数幂,我们可以从有理数指数幂来理解,由于无理数是无限不循环小数,因此可以取无理数的不足近似值和过剩近似值来无限逼近它.一般来说,无理数指数幂ap(a>0,p是一个无理数)是一个确定的实数.由于实数分为有理数和无理数,则规定了无理数指数幂后,我们就把指数扩大为全体实数了.做一做典题例证·技法归纳题型一分数指数幂与根式的转化计算下列各式的值:题型探究例1【思维总结】解决本题的关键是理解分数指数幂的意义,根式是分数指数幂的另一种形式,将根式化为分数指数幂的形式是计算的前提.题型二指数幂的综合运算计算下列各式.例2【名师点睛】进行指数运算时,要化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数运算,同时还要注意运算顺序问题.题型三有关指数幂的条件求值例3【思维总结】巧妙地换元、整体代换、完全平方公式、立方和公式等是解这类题常用的方法和知识.方法感悟方法技巧1.指数幂的一般运算步骤是:有括号先算括号里的;无括号先做指数运算;负指数幂化为正指数幂的倒数;底数是负数,先确定符号;底数是小数,先要化成分数;底数是带分数,先要化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,便于用指数运算性质.2.在分数指数幂运算中,既含有分数指数幂,又含有根式,应该把根式统一化为分数指数幂的形式,便于运算,如果根式中根指数不同,也应化为分数指数幂的形式.失误防范

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