2013 年全国高中数学联合竞赛一试试题 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题8 分，共 64 分． 1. 设集合{2, 0, 1, 3}A，集合2{ |, 2}BxxAxA ．则集合B 中所有元素的和为 ． 2. 在平面直角坐标系xOy 中，点A、B 在抛物线24yx上，满足4OA OB ，F 是抛物线的焦点. 则OFAOFBSS ． 3. 在ABC中，已 知 sin10sinsin,ABCcos10coscos ,ABC则tan A 的值为 ． 4. 已知正三棱锥 PABC底面边长为1，高为2 ，则其内切球半径为 ． 5. 设,a b 为实数，函数( )f xaxb 满足：对任意[0, 1]x，有( )1f x . 则ab的最大值为 ． 6. 从1, 2,, 20中任取 5 个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为 ． 7. 若实数 ,x y 满足42xyxy，则x的取值范围是 ． 8. 已知数列{ }na共有9 项，其中191aa ，且对每个{1, 2,, 8}i ，均有112, 1,2iiaa，则这样的数列的个数为 ． 二、解答题：本大题共3 小题，共 56 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9.（本题满分 16 分）给定正数数列{ }nx满足12,2,3,nnSSn−≥= ，这里1nnSxx=++．证明：存在常数0C >，使得 2 ,1, 2,nnxCn≥⋅= ． 10. （ 本 题 满 分 20 分 ） 在平面直角坐标系xOy 中，椭 圆 的方 程 为22221(0)xyabab，1A 、2A 分别为椭圆的左、右顶点，1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点．若平面中两个点Q 、 R 满足11QAPA，22QAPA，11RFPF，22RFPF，试确定线段QR 的长度与b的大小关系，并给出证明． 11. （本题满分 20 分）设函数2( )f xaxb ，求所有的正实数对 ( ,)a b ，使得对任意实数 ,x y ，有 ()()( ) ( )f xyf xyf x f y． 2013 年全国高中数学联合竞赛加试试题 一、（本题满分 40 分）如图，AB 是圆ω 的一条弦，P 为弧AB 内一点，E 、F 为线段 AB 上两点，满足 AEEFFB==．连接 PE、PF 并延长，与圆ω 分别相交于点C、D．求证： EF CDAC BD⋅=⋅． （解题时请将图画在答卷纸上） 二、（本题满分 40 分） 给定正整数 u，v．数列{ }na定义如下：1auv=+，对整数1m ≥ ， 221,.mmmmaauaav+=+=+ 记()121 , 2 ,mmSaaam=+++= ．证明：数...
