2019 年全国高中数学联赛A卷一试部分一、填空题（本大题共 8 小题，每题 8 分，共 64 分）1.已知正实数a满足8(9 )aaaa,则 log(3 )a a的值为2.若实数集合{1,2,3,x}的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则 x的值为3.平面直角坐标系中, e是单位向量,向量 a满足2ae,且2| |5 ||aa te 对任意实数t成立,则| |a的取值范围是4.设 A,B为椭圆Γ的长轴顶点,E,F为Γ的两个焦点,|AB|=4,|AF|= 23,P为Γ上一点,满足|PE|·|PF|=2,则△PEF的面积为5.在 1,2,3,……,10 中随机选出一个数a,在-1,-2,-3,……,-10 中随机选出一个数b,则2ab 被 3 整除的概率为6.对任意闭区间 I,用 MI表示函数y=sinx在 I上的最大值,若正数a满足 M[0,a]=2M[a,2a],则 a的值为7.如图,正方体 ABCD-EFGH的一个截面经过点 A,C及棱 EF上一点 K,且将正方体分成体积比为 3:1 的两部分,则 EKFK的值为8.将 6 个数2,0,1,9,20,19 按任意次序排成一行,拼成一个 8 位数(首位不为 0),则产生的不同的 8 位数的个数为二解答题:本大题共 3 小题,满分56 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤9(本题分16 分)在△ABC中,BC=a,CA=b,AB=c,若 b是 a与 c的等比中项,且 sinA是 sin(B-A)与 sinC的等差中项,求 cosB的值10.(本题满分20 分)在平面直角坐标系 xOy中，圆Ω与抛物线Γ:y2=4x恰有一个公共点，且圆Ω与 x轴相切于Γ的焦点 F，求圆Ω的半径11（本题满分20 分）称一个复数数列{zn}为“有趣的”,若|z1|=1 且对任意正整数n,均有2211420nnn nzzzz ,求最大的常数C，使得对一切有趣的数列{zn}及任意正整数m,均有123||mz z zzC 2019 年全国高中数学联赛A卷加试部分一、(本题满分40 分)如图,锐角△ABC中,M是 BC边的中点,点 P在△ABC内,使得 AP平分∠BAC,直线 MP与△ABP,△ACP的外接圆分别相交于不同于点 P的两点 D,E.证明:若 DE=MP,则 BC=2BP二、(本题满分40 分)设整数a1,a2,a3,…,a2019满足 1=a1≤a2≤a3≤…≤a2019=99,记22212201913243520172019() ()faaaaa aaaaa a 求 f的最小值 f0,并确定使 f=f0成立的数组(a1,a2,…,a2019)的个数三、（本题满分50 分）设 m为整数,|m|≥2.整数数列 a1,a2,……满足：a1,a2不全为零，且对任意正整数n,均有21nnnaama求证：若存在整数r,s(r>s≥2)使得 ar=as=a1,则 r-s≥|m|...
