12021 年全国中学生数学奥林匹克竞赛（初赛）暨 2021 年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分．1．等差数列{an}满足 a2021＝a20+a21＝1，则 a1 的值为__________．2．设集合 A＝{1，2，m}，其中 m为实数．令 B＝{a2｜a∈A}，C＝A∪B．若 C的所有元素之和为 6，则C的所有元素之积为__________．3．设函数 f(x)满足：对任意非零实数 x，均有 f(x)＝f(1)·x+2fx －1，则 f(x)在(0，+∞ )上的最小值为__________．4．设函数 f(x)＝cosx+log2x（x>0），若正实数 a满足 f(a)＝f(2a)，则 f(2a)－f(4a)的值为__________．5．在△ABC中，AB＝1，AC＝2，B－C＝ 23，则△ABC的面积为__________．6．在平面直角坐标系 xOy中，抛物线Γ：y2＝2px（p>0）的焦点为 F，过Γ上一点 P（异于 O）作Γ的切线，与 y轴交于点 Q．若|FP|＝2，|FQ|＝1，则向量 OP与 OQ的数量积为__________．7．一颗质地均匀的正方形骰子，六个面上分别标有点数 1，2，3，4，5，6．随机地抛掷该骰子三次（各次抛掷结果相互独立），所得的点数依次为 a1，a2，a3，则事件“|a1－a2|+|a2－a3|+|a3－a1|＝6”发生的概率为__________．8．设有理数 r＝ pq∈(0，1)，其中 p，q为互素的正整数，且 pq整除 3600．这样的有理数 r的个数为__________．二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．已知复数列{zn}满足：z1＝32 ，zn+1＝nz(1+zni)（n＝1，2，… ），其中i为虚数单位．求z2021的值．210．在平面直角坐标系中，函数y＝11xx 的图像上有三个不同的点位于直线l上，且这三点的横坐标之和为0．求l的斜率的取值范围．11．如图，正方体ABCD－EFGH的棱长为2，在正方形ABFE的内切圆上任取一点P1，在正方形BCGF的内切圆上任取一点P2，在正方形EFGH的内切圆上任取一点P3．求|P1P2|+|P2P3|+|P3P1|的最小值与最大值．32021 年全国中学生数学奥林匹克竞赛（初赛）暨 2021 年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分．1．等差数列{an}满足 a2021＝a20+a21＝1，则 a1 的值为__________．【答案】19814001【解析】2．设集合 A＝{1，2，m}，其中 m为实数．令 B＝{a2｜a∈A}，C＝A∪B．若 C的所有元素之和为 6，则C的所有元素之积为__________．【答案】－8【...
