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Linear Algebra Done Right 思 路 札記 September 28, 2009 by 茅盛 終于在掙扎中，把這本書的線性空間部分看完了，行列式部分也在看，不過札記是可以寫了。可以說這本書的確和最初宣傳的很相符，把線性算子這個賣點拿捏得很好。數學我僅停留在科普的階段，所以有理解錯誤是不能幸免的，歡迎指正。 還是從第 一 章 開始。開篇作者就特意快速瀏覽了一下復數（complex number）的性質，并且定義域，或者。這里的定義需要引起注意，因為全書的行文是明確分復數域和實數域這兩個域分別證明的，特別是后文關于特征值（本征值，eigenvalue）的部分，實數域不能保證有本征值，因此導致是正規（normal）還是自伴（self‐adjoint）條件強弱不同，還有引出了2 維不變子空間的概念。這些部分后文再提。 瀏覽完復數的性質，就引入了最關鍵的向量空間（Vector Space）的定義。向量大家都很熟悉，向量空間定義為向量的集合，滿足加法（addition）和標量乘法（scalar multiplication）。文中列舉了六個基本性質，但是作為后面討論子空間（subspace），最重要的就是三個：加法單位元（additive identity），對加法封閉（closed under addition），對標量乘法的封閉性（closed under scalar multiplication）。底下的關于子空間的問題大多是證明包含加法單位元的問題，不再做討論。 引入子空間后，連接子空間和空間的是和（sum）與直和（direct sum）。參考集合的術語，和相對于并集（union），直和相當于分劃（slice）。對于每個，都可以表示為的形式，對于直和來說，這個表示是唯一的。直和是后面的重要工具，所以作者對直和找了兩個充要條件。充要條件1.8 是說 n 個子空間，如果，那么首先 能完全覆蓋，其次要求中每個。這里的條件二很有意思，有點類似線性組合里面的線性無關的意思了，這個后面再說。充要條件 1.9則是這么說的要求的子空間和，具有和。這個條件很顯而易見，也就是集合里面的，不多說了。 好，接下來開始第 二 章 。第二章的名字是有限為向量空間，既然是有限維，那自然有無線維，不過那個是泛函分析（ functional analysis）的內容，我不討論了。這一章引入了張成（span 或線性張成，linear span），線性無關（linearly independent），基（basis），維數（dimension）四個核心概念，如果說前一章還是工具，這一章已經是基本骨架了。從此往后，討論的目標通常是向量組。張成就是向量組的線性組合構...