中考数学辅导之— 正多边形和圆及正多边形的有关计算正多边形和圆是初中几何课本中的最后一单元, 它包括正多边形的定义、正多边形的判定、性质 , 正多边形的有关计算 , 圆周长及弧长公式，圆、扇形、弓形的面积。今天我们一起学习正多边形的定义、判定、性质及有关计算. 一、基础知识及其说明： 1.正多边形的定义 : 各边相等、 各角也相等的多边形叫做正多边形. 此定义中的条件各边相等 , 各角也相等“缺一不可 ”. 如: 菱形各边相等 , 因四个角不等 , 所以菱形不一定是正多边形 . 矩形的四个角相等 , 但因四条边不一定相等, 故矩形不一定是正四边形, 只有正方形是正四边形 . 2.正多边形的判定 , 正多边形的定义当然是正多边形的判定方法之一, 但如同全等三角形的判定一样 , 用定义来证明两个三角形全等显然不可取, 因此需用判定定理来证 . 判定定理 : 把圆几等分 (3n) ①依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形②经过各分点做圆的切线 , 以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形 .也就是说 , 若要证明一个多边形是圆内接正多边形, 只要证明这个多边形的顶点是圆的等分点即可 , 如：要证明一个圆内接 n 边形 ABCDEF⋯⋯是圆内接正 n 边形 , 就要证 A、B、C、D、E、F⋯⋯各点是圆的n 等分点 , 就是要证 AB=BC=CD=DE=EF=⋯⋯. 同样 , 要证明一个圆外切n 边形是圆外切正 n 边形 , 只要证明各切点是圆的等分点即可. 例 1: 证明：各边相等的圆内接多边形是正多边形. 已知 : 在⊙ O中, 多边形 ABCDE⋯⋯是⊙ O的内接 n 边形 , O E 且 AB=BC=CD=DE=⋯⋯. 求证 :n 边形 ABCDE⋯⋯是正 n 边形 . A D 证明 : AB=BC=CD=DE=⋯⋯ B C ∴ AB=BC=CD=DE⋯⋯∴OEB=AEC= BED=COE=⋯⋯∴DCBA又 AB=BC=CD=DE=⋯⋯∴n 边形 ABCDE⋯⋯是正 n 边形 . 例 2: 证明 : 各角相等的圆外切 n 边形是正 n 边形 . 已 知 :多 边 形FEDCBA⋯ ⋯ 是 圆 外 切n边 形 ,切 点 分 别 是A,B,C,D,E ⋯⋯ ,FEDCBA=⋯⋯. 求证 :n 边形FEDCBA⋯⋯是正 n 边形 . 证明 : 连结 OB,OC,OD⋯⋯ , 在四边形 CODC 和四边形 BOCB 中 DCCBBA,,切⊙O于 B,C,D ∴90CODCOCBOCBOB∴0''180CODCBOCB A F 而CBA⋯⋯AE∴CODBOC∴BC=CD(在同圆中 , 相等的圆 B O E心角所对的弧相等 ). D同理 BC=CD=DE=FE=⋯...
