⑨竞赛中的复数问题VIP免费

Y.P.M 数 学 竞 赛 讲 座 1 竞 赛 中 的 复 数 问 题 复 数 不 仅 具 有 自 身 知 识 体 系 的 丰 富 性 ,而 且 还 与 代 数 、 三 角 、 几 何 之 间 存 在 内 在 的 紧 密 联 系 .复 数 的 演 绎 独 具 特 色 ,饶 于技 巧 ,复 数 是 竞 赛 数 学 的 内 容 之 一 . 一 、 知 识 结 构 1.概念与运算: ⑴表达形式:①代 数 式 :z=a+bi(a,b∈R);② 三 角 式 :z=r(cosθ+isinθ)(r≥0,θ∈R);③ 指 数 式 :z=reiθ(r≥0,θ∈R);④ 欧 拉 公式 :eiθ=cosθ+isinθ,θ∈R. ⑵共轭与模:①21zz =21zz ;21 zz =21 zz ;)(21zz=21zz ;② ||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|;|z1z2|=|z1||z2|;|21zz |= ||||21zz;③ z z =|z|2=| z |2;④ z= z  z∈R;|z|=|Re(z)|  z∈R. ⑶运算法则:①乘 法 :r1(cosθ1+isinθ2)r2(cosθ2+isinθ2)=r1r2(cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2));② 除 法 :)sin(cos)sin(cos222121irir =21rr (cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2));③ 乘 方 :[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ);④ 开 方 :zn=r(cosθ+isinθ)  z = n r (cosnk2+isinnk2)(k=0,1,2…,n-1). 2.辐角与三角: ⑴辐角性质:①定 义 :若 z=r(cosθ+isinθ)(r≥0,θ∈R),则 θ称 为 复 数 z 的 辐 角 ,记 为 Argz;特 别 地 ,当 θ∈[0,2π)时 ,则 θ称 为复 数 z 的 辐 角 主 值 ,记 为 argz;② 运 算 :Argz1+Argz2=Arg(z1z2);Argz1-Argz2=Arg(21zz )=Arg(z12z );nArgz= Argzn;③ 性 质 :若 z=cosθ+isinθ,则 1+z=2cos2 (cos2 +isin2 );1-z=-2sin2 (cos2 +isin2 ). ⑵单位根:①定 义 :方 程 xn=1 的 n 个 根 叫 做 n 次 单 位 根 ,分 别 记 为 ωk(k=0,1,2,…,n-1);ωk=(cosnk2+isinnk2)(k=0, 1,2…,n-1);② 性 质 :ω0=1;ωk=ω1k;ωkωj=ωk+j;单 位 根 的 积 仍 是 单 位 根 ;n 次 单 位 根 的 全 部 为 :1,ω1,ω12,…,ω1n-1;③ 1+ω1+ω12+…+ω1n-1=0,(x-1)(x-ω1)(x-ω12)…(x-ω1n-1)=xn-1. ⑶基本结 论:①实 系 数 n 次 方 程 的 虚 根 α与 其 共 轭 复 数  成 对 出 现 ;② 若 |z1|=|z2|=…=|zn|,且 z1+z2+…+zn=0,则 z1,z2, …,z...