第 1 讲求数列通项公式之累加法(1)累加法:如果递推公式形式为:1nnaaf n 或)(1nfaann,则可利用累加法求通项公式注意:①等号右边为关于n 的表达式,且能够进行求和②1,nnaa 的系数相同,且为作差的形式③、具体操作流程之一:若1( )nnaaf n ,则21321(1)(2)( )nnaafaafaaf nLL两边分别相加得111( )nnkaaf n例 1:数列na满足:11a,且121nnnaa,求na解:121nnnaa累加可得:2112221nnaanL例 2:已知数列 {}na满足11211nnaana,,求数列 {}na的通项公式。解:由121nnaan得121nnaan则所以数列 {}na的通项公式为2nan比较例题 1 和例题 2:它们有什么异同吗?【关键提示】:是否能利用累加法,首先要看能否将数列的递推公式整理成)(1nfaann或)2)((1nnfaann的形式;其次还要利用到等差数列的前n项和公式2)(1nnaanS或dnnnaSn2)1(1;等比数列的前 n 项和公式)1(1)1()1(11qqqaqnaSnn【变式训练】:变式 1、已知数列na的首项为 1,且naann21写出数列na的通项公式 . 变式 2、在数列na中,01a且121naann,求数列na的通项公式。变式 3、已知数列na满足31a,)2()1(11nnnaann,求此数列的通项公式 . 变式 4、在数列na中,31a,)1(11nnaann,求数列na的通项公式。变式 5、已知数列na满足1321nnnaa,31a,求数列na的通项公式。【补充练习】:1、已知数列na满足11a,naann 1,则数列na的通项公式为2、已知数列na满足11a,113nnnaa(Nn),则数列na的通项公式为3、已知数列na满足211a,23121nnaann(Nn),则数列na的通项公式为na。4、已知数列na满足98,)32()12()1(81221annnaann,则数列na的通项公式为na。5.已知na满足21nnaa,且11a,求na6.已知na满足21nnaa3n,且11a,求na7.已知na满足)2(311naannn,且11a,求na8. 已知数列na满足,求。评注:已知aa1,)(1nfaann,其中 f(n) 可以是关于 n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数,求通项na . ①若 f(n) 是关于 n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; ②若 f(n) 是关于 n 的二次函数,累加后可分组求和; ③若 f(n) 是关于 n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; ④若 f(n) 是关于 n 的分式函数,累加后可裂项求和。思考题: 已知数列na中,0na且)(21nnnanaS, 求数列na的通项公式. 解: 由已知)(21nnnanaS得)(2111nnnnnSSnSSS, 化简有nSSnn212, 由类型 (1) 有nSSn32212, 又11aS得11a, 所以2)1(2nnSn, 又0na,2)1(2nnsn, 则2)1(2)1(2nnnna n此题也可以用数学归纳法来求解.