求数列通项公式之累加法

第 1 讲求数列通项公式之累加法（1）累加法：如果递推公式形式为：1nnaaf n 或)(1nfaann，则可利用累加法求通项公式注意：①等号右边为关于n 的表达式，且能够进行求和②1,nnaa 的系数相同，且为作差的形式③、具体操作流程之一：若1( )nnaaf n ，则21321(1)(2)( )nnaafaafaaf nLL两边分别相加得111( )nnkaaf n例 1：数列na满足：11a，且121nnnaa，求na解：121nnnaa累加可得：2112221nnaanL例 2：已知数列 {}na满足11211nnaana，，求数列 {}na的通项公式。解：由121nnaan得121nnaan则所以数列 {}na的通项公式为2nan比较例题 1 和例题 2：它们有什么异同吗？【关键提示】：是否能利用累加法，首先要看能否将数列的递推公式整理成)(1nfaann或)2)((1nnfaann的形式；其次还要利用到等差数列的前n项和公式2)(1nnaanS或dnnnaSn2)1(1；等比数列的前 n 项和公式)1(1)1()1(11qqqaqnaSnn【变式训练】：变式 1、已知数列na的首项为 1，且naann21写出数列na的通项公式 . 变式 2、在数列na中，01a且121naann，求数列na的通项公式。变式 3、已知数列na满足31a，)2()1(11nnnaann，求此数列的通项公式 . 变式 4、在数列na中，31a，)1(11nnaann，求数列na的通项公式。变式 5、已知数列na满足1321nnnaa，31a，求数列na的通项公式。【补充练习】：1、已知数列na满足11a，naann 1，则数列na的通项公式为2、已知数列na满足11a，113nnnaa（Nn），则数列na的通项公式为3、已知数列na满足211a，23121nnaann（Nn），则数列na的通项公式为na。4、已知数列na满足98,)32()12()1(81221annnaann，则数列na的通项公式为na。5．已知na满足21nnaa，且11a，求na6．已知na满足21nnaa3n，且11a，求na7．已知na满足)2(311naannn，且11a，求na8. 已知数列na满足，求。评注：已知aa1,)(1nfaann，其中 f(n) 可以是关于 n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项na . ①若 f(n) 是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若 f(n) 是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和; ③若 f(n) 是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若 f(n) 是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和。思考题： 已知数列na中,0na且)(21nnnanaS, 求数列na的通项公式. 解: 由已知)(21nnnanaS得)(2111nnnnnSSnSSS, 化简有nSSnn212, 由类型 (1) 有nSSn32212, 又11aS得11a, 所以2)1(2nnSn, 又0na,2)1(2nnsn, 则2)1(2)1(2nnnna n此题也可以用数学归纳法来求解.