( 八) 随机变量及其概率分布1．袋中装有大小相同的黑球和白球共9 个，从中任取2 个都是白球的概率为512. 现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，⋯，每次摸取1 个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X 表示取球终止时取球的总次数．(1) 求袋中原有白球的个数；(2) 求随机变量X 的概率分布及数学期望E( X) ．解(1) 设袋中原有n 个白球，则从9 个球中任取2 个球都是白球的概率为C2nC29，由题意知C2nC29＝512，化简得 n2－n－30＝0，解得 n＝6 或 n＝－ 5( 舍去 ) ，故袋中原有白球的个数为6. (2) 由题意， X的可能取值为1,2,3,4. P( X＝1) ＝69＝23， P( X＝ 2) ＝3×69×8 ＝14，P( X＝3) ＝3×2×69×8×7 ＝114， P( X＝ 4) ＝3×2×1×69×8×7×6 ＝184. 所以取球次数X的概率分布为X 1234 P 23141141842所求数学期望E( X) ＝1×23＋2× 14＋3× 114＋4× 184＝ 107 . 2．某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为P1＝23，乙的命中率为P2，在射击比武活动中每人射击两发子弹则完成一次检测．在一次检测中， 若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”．(1) 若 P2＝12，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；(2) 在 2018 年每月进行1 次检测， 设这 12 次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为ξ ，如果 E( ξ ) ≥5，求 P2 的取值范围．解(1) 所求概率 P＝ C12·23·13C12·12·12 ＋23·2312·12 ＝13. (2) 该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率为P＝ C12·23·13 [C12· P2· (1 － P2)] ＋23·23 P22＝89P2－49P22. 而 ξ ～B(12 ，P) ，所以 E( ξ ) ＝12P，由 E( ξ ) ≥5 知，89P2－49P22 · 12≥5，解得34≤P2≤54. 又 0≤P2≤1，∴34≤P2≤1.3．(2018· 南通调研 ) 从集合 {1,2,3,4,5}的所有非空子集中，等可能地取出m个．(1) 若 m＝1，求所取子集的元素既有奇数又有偶数的概率；(2) 若 m＝2，记所取子集的元素个数之差的绝对值为ξ ，求 ξ的概率分布及数学期望E( ξ ) ．解(1) 当 m＝1 时，记事件A：“所取子集的元素既有奇数又有偶数”．则集合 {1,2,3,4,5}的非空子集数为25－1＝31，其中非空子集的元素全为奇数的子集数为23－1＝7，全为偶数的子集数为22－1＝3，所以 P( A) ＝31－ 7＋331＝2131. (2) 当 m＝...
