洛必达法则的简便证明

洛必达法则的简便证明（以0xx 为例）柯西中值定理可用于证明洛必达法则和泰勒公式.定理（ 00型，型）若函数f 和 g 满足条件1）00lim( )lim( )0xxxxf xg x（是说极限为00型不定式）（型中的 1）0lim( )xxg x）2）0( )lim( )xxfxAg x（ A 为实数或，）（是说在0x 的某邻域0()Ux内，( )( )fxgx有意义，且有确定的趋势） ，则0( )lim( )xxf xAg x.证明00型型1. A有限故0 ，0()Ux，0()xUx，( )( )fxAAgx所以，0,()x xUx且0xxx ，由柯西中值 定理，(, )x x0()Ux，使( )( )( )( )( )( )f xf xfAAg xg xg令0xx，由保号性，0( )lim( )xxf xAAg x由实数 ab 的语言形式的定义，0( )lim( )xxf xAg x.分子分母同除以()g x，即( )()()()( )1()f xf xg xg xAAg xg x.令0xx，由0lim()xxg x及保号性，0()lim()xxf xAAg x由 ab的语言形式的定义，0()lim()xxf xAg x，即0( )lim( )xxf xAg x.2.A从0( )lim( )xxfxg x知( )0fx，否则，0( )lim0( )xxfxg x，与假设矛盾 .由无穷小与无穷大的关系，因为00,()GUx，0()xUx，( )||( )fxGg x.所以，0,()x xUx且0xxx ，由柯西中值定理，(, )x x0()Ux，0( )lim0( )xxg xfx.从而化为已证的A 有限的情形，有0( )lim0( )xxg xf x，故由无穷小与无穷大的关系，0( )lim( )xxf xAg x.使得( )()( )||( )()( )f xf xfGg xg xg.分子分母同除以()g x，有( )()( )()||||()()()()||( )( )1|1|()()f xf xf xf xg xg xg xg xGg xg xg xg x.得()( )( )|||1|||()()()f xg xf xGg xg xg x.因0xx，( )1|1|1()()2g xg x及保号性，( )1|1|()2g xg x；因0xx，( ) |0,()f xg x及定义，0 ，( )||()fxg x.于是()1||()2f xGg x，即1()||2()fxGg x.由实数 ab 的语言形式的定义，()1||()2f xGg x.故0()lim()xxf xAg x，即0( )lim( )xxf xAg x.注 同时满足定理的几个条件才可适用.1）只有断言0( )lim( )xxfxAg x时（ A 为实数或，），洛必达法则才能使用. 否则， 无法使用 .例如201sinlimxxxx，0( )lim( )xfxg x不存在，无法使用定理作判断，其实，201sinlim0xxxx. 精品文档，你值得期待2）可以在求一个极限时，多次使用.3）及时化简 . 如约分，或及时分离出存在极限的因子，以免因求导引起解析式更繁琐. 如2seclimtanxxx.