人教版二项式定理——典型例题解析

人教版二项式定理 概 念 篇 【例1】展开(2x－223x)5. 分析一：直接用二项式定理展开式. 解法一：(2x－223x)5=C 05(2x)5+C 15(2x)4(－223x)+C 25 (2x)3(－223x)2+C 35 (2x)2(－223x)3+ C 45 (2x)(－223x)4+C 55(－223x)5 =32x5－120x2+x180 －4135x+78405x－1032243x. 分析二：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开. 解法二：(2x－223x)5=105332)34(xx  =10321x［C 05(4x3)5+C 15(4x3)4(－3)+C 25 (4x3)3(－3)2+C 35 (4x3)2(－3)3+C 45 (4x3)(－3)4+ C 55(－3)5］ =10321x(1024x15－3840x12+5760x9－4320x6+1620x3－243) =32x5－120x2+x180 －4135x+78405x－1032243x. 说明：记准、记熟二项式(a+b)n 的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提条件.对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便. 【例2】求二项式(a－2b)4 的展开式.a 分析：直接利用二项式定理展开. 解：根据二项式定理得(a－2b)4=C 04 a4+C 14 a3(－2b)+C 24 a2(－2b)2+C 34 a(－2b)3+C 44 (－2b)4 =a4－8a3b+24a2b2－32ab3+16b4. 说明：运用二项式定理时要注意对号入座，本题易误把－2b 中的符号“－”忽略. 【例3】在(x－3 )10 的展开式中，x6 的系数是 . 解法一：根据二项式定理可知 x6 的系数是C 410. 解法二：(x－3 )10 的展开式的通项是Tr+1=C r10x10－r(－3 )r. 令 10－r=6，即 r=4，由通项公式可知含 x6 项为第 5 项，即 T4+1=C 410x6(－3 )4=9C 410 x6. ∴x6 的系数为 9C 410. 上面的解法一与解法二显然不同，那么哪一个是正确的呢？ 问题要求的是求含 x6 这一项系数，而不是求含 x6 的二项式系数，所以应是解法二正确.如果问题改为求含 x6 的二项式系数，解法一就正确了，也即是C 410. 说明：要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异. 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关. 【例4】已知二项式(3x －x32 )10， (1)求其展开式第四项的二项式系数； (2)求其展开式第四项的系数； (3)求其第四项. 分析：直接用二项式定理展开式. 解：(3x －x32 )10 的展开式的通项是Tr+1=C r10(3x )10－r(－x32 )r(r=0，1，…，10). (1)展开式的第4 项的二项式系数为C 310=120. (2)展开式的第4 项的系数为C 31037(－32 )3=－77760. (3)展开式的第4 项为－7...