初 中最值问题汇总 （将军饮马，辅助圆，瓜豆原理，“胡不归”问题，阿氏圆问题，费马点） 最值系列之——将军饮马 一、什么是将军饮马？ 【问题引入】 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河” ，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马” 。 【问题描述】 如图，将军在图中点 A 处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？ AB将军军营河 【问题简化】 如图，在直线上找一点 P 使得 PA+ PB 最小？ PBA 【问题分析】 这个问题的难点在于 PA+ PB 是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短” 、“点到直线的连线中，垂线段最短” 等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段． 【问题解决】 作点 A 关于直线的对称点 A’，连接 PA’，则 PA’=PA，所以 PA+ PB= PA’+PB A'ABP 当A’、P、B 三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短） 折点端点A'PBA 【思路概述】 作端点（点A 或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段． 二、将军饮马模型系列 【一定两动之点点】 在OA、OB 上分别取点M、N，使得△PMN 周长最小． MNP''P'NMBAPOOPAB 此处M、N 均为折点，分别作点P关于OA（折点M 所在直线）、OB（折点N 所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN 周长最小． 【例题】如图，点P是∠AOB 内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________． POBAMN 【分析】△PMN 周长即 PM+PN+MN 的最小值，此处M、N 均为折点，分别作点P关于OB、OA 对称 点P’、P’’，化 PM+PN+MN 为 P’N+MN+P’’M． P'P''NMABOP 当 P’、N、M、P’’共线时，得△PMN 周长的最小值，即线段 P’P’’长，连接 OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以 P’P’’=OP’=OP=8． POBAMNP''P' 【两定两动之点点】 在 OA、OB 上分别取点M、N 使得四边形 PMNQ 的周长最小。 Q'P'MNBAPOQQOPABNM 考虑 PQ 是条定线段，故只需考虑 PM+MN+NQ 最小值即可，类似，分别作点P、Q 关于 OA、OB 对称，化折线段 PM+MN+NQ 为 P’M+MN+NQ’，当 P’、M、N、Q’共线时，四边形 PMNQ 的周长...
