函数的连续性VIP专享VIP免费

图1-37第九节函数的连续性和间断点有了极限的概念，我们就可以来讨论函数的一种重要特性——连续性。首先我们应注意到连续性也是客观现实的反映，是从许多自然现象的观察中抽象出来的一种共同特性。如气温随时间的变化而连续变化，铁棒长度随着温度的变化而连续变化等。它们的共同特性是：一方面在变化，另一方面是在逐渐变化的。可在很短一段时间内，的变化很小；同样当温度变化很小时，的变化也很小。这些现象反映在数学上就是自变量有一个微小的变化时，函数的变化也是微小的。下面我们就专门来讨论这种概念。一、函数的连续性1.预备知识改变量：设变量从它的一个初值变到终值，终值与初值的差，就叫的改变量，记作。改变量也叫增量。注意：①，并不是可取值的起点和终点，而是变化过程中从变到。②可正可负。③是一个整体记号，不是某个量与变量的乘积。2.函数在处连续的定义定义1当自变量在点的改变量为无穷小时，相应函数的改变量也是同一过程中的无穷小量，即，则称在处连续，见图1-37.定理1在处连续的充要条件是。证明由定义1，由定理1，我们可将定义1改写为以下定义2.定义2如果，，当时，有，则在处连续。3.函数在点连续的要求⑴在点有意义，即有确定的函数值；⑵存在；⑶极限值函数值，即。这三要素缺一不可。4.连续与极限的区别当在处有极限时，在处可无定义，也可有。1O0()fxxx0()fxxyyfxy而当在处连续时，在一定有意义并且必成立。所以，函数在点处连续，则函数在点处必有极限，反之不成立。5.左右连续定义3如果，则称在处右连续；如果，则称在处左连续。所以在处连续亦可用以下定义描述。定义4若，即函数在点处左极限等于右极限等于函数值，则函数在点处连续。6.在某区间连续⑴在内连续是指，在处连续。⑵在上连续是指在内连续，在点右连续，在点左连续。注意：证明分断点处的连续性时一定要用定义4.若在内连续，则称为的连续区间。7.连续函数的几何意义连续函数的图形是一条不断开的曲线。例1证明在处连续。证明注意，所以，从而在处连续。例2讨论在处的连续性。解因为，，，所以。由定义4，在处连续，见图1-38.例3证明多项式函数在内连续。证明设。由极限运算法则知，2yx1O1-1图1-38由的任意性知在内连续。例4证明有理函数（为次多项式，为次多项式），在点处处连续。证明，且，有，所以在其定义域内处处连续。例5求证在内连续。证明，给一个增量，则，从而，所以在点连续。由的任意性知在内连续。例6证明在内连续。证明，，有，所以，所以在内连续。二、函数的间断点与函数的连续性相对的概念是函数的间断性。1.间断点的定义若在点处不连续，则称为的一个间断点。函数间断的几何解释是的图形在处断开。例7讨论的间断点。解注意可见，所以在处不连续，即为的间断点。3O-2yfxxy2这种的间断点，我们称其为跳跃间断点，见图1-39.2.间断点的分类函数在处产生间断点是由于以下三种情况：⑴在点无意义，即不存在；⑵在点极限不存在，即不存在；⑶极限值函数值，即。我们称左右极限都存在的间断点为第一类间断点；其余间断点统称为第二类间断点。进而，设为的第一类间断点，如果还有，则称为的可去间断点；如果有，则称为的跳跃间断点。下表给出了间断点的分类情况。3.函数的连续区间讨论函数的连续区间，就是在其定义域内排除间断点，主要在分段点、端点来考虑是否为间断点。例8研究在处的连续性。解因为在处无意义，所以是间断点。又因为，即极限不存在，所以属第二类间断点，通常称其为无穷间断点，见图1-40.例9讨论在点的连续性。解因为在处无意义，且不存在，所以为的第二类间断点。这时，在-1和1内来回振荡，通常称其为振荡间断点，见图1-41.例10讨论在点处的连续性。解因为在处无意义，故为4图1-39Oyx2图1-4011-11xyO图1-41间断点。但，从而可补充定义，则函数在定义域内处处连续。例11讨论在点处的连续性，见图1-42.解注意而，所以为第一类可去间断点，修改定义后，则函数处处连续，称函数为函数的连续延拓函数。习题1.91.设函数，试讨论在处的连续性。2.指出下列函数的间断点，并指明是哪一类间断点。（1）；（2）；（3）；（4）3....