2函数的对称性与周期性一、基础知识(一)函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴(或对称中心)对称2、轴对称的等价描述：(1)f(a—x)=f(a+x)of(x)关于 x=a 轴对称(当 a 二 0 时，就是偶函数)(2)f(a 一 x)=f(b+x)of(x)关于 x=a+b 轴对称2(3)f(x+a)是偶函数，则 f(x+a)=f(—x+a),可得到：f(x)关于 x=a 轴对称。① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在 f(x+a)中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的 x 取相反数时，函数值相等，即 f(x+a)=f(—x+a)，要与以下的命题区分：若 f(x)是偶函数，则 f(x+a)=f[—(x+a)]:f(x)是偶函数中的 x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有② 本结论也可通过图像变换来理解，f(x+a)是偶函数，则 f(x+a)关于 x=0 轴对称，而f(x)可视为 f(x+a)平移了 la 个单位(方向由 a 的符号决定),所以 f(x)关于 x=a 对称。2、中心对称的等价描述：(1) f(a 一 x)=—f(a+x)of(x)关于(a,0)中心对称(2) f(a—x)=—f(b+x)of(x)关于 fa+b,0 中心对称\2 丿在已知对称中心的情况下，构造形如 f(a—x)=-f(b+x)的等式同样需注意两点，一是等式两侧 f 和 x 前面的符号均相反；二是 a,b 的取值保证 x=为所给对称中心即可。例如：f(x)关于(-1,)0 中心对称 nf(j=-f2-)-,或得到 f(3-x)=-f(-5+x)均可，同样在求函数值方面，一侧是 f(x)更为方便(3)f(x+a)是奇函数，则 f(x+a)=-f(-x+a)，进而可得到：f(x)关于(a,0)中心对称。① 要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反，所以在 f(x+a)中，x 仅是括号中的一部分，奇函数只是指其中的 x 取相反数时，函数值相反，即 f(x+a)=f(-x+a)，要与以下的命题区分：若 f(x)是奇函数，则 f(x+a)=-f-(x+a)]:f(x)是奇函数中的 x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有 f(x+a)=-f-(x+a)]② 本结论也可通过图像变换来理解，f(x+a)是奇函数，则 f(x+a)关于(0,0)中心对称，而 f(x)可视为 f(x+a)平移了|a 个单位(方向由 a 的符号决定),所以 f(x)关于(a,0)对称。4、对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”，主要体现在以下几点：(1) 可利用对称性求得某些点的函数值(2) 在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像(3) 极值点关于对称轴(对称中心)对称(4) 在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单...
