用平面的法向量解高考立体几何试题

A B C D x y A1B1C1D 1z 图 1 用平面的法向量解高考立体几何试题张靖松平面的法向量在课本上有定义，考试大纲中有 “理解”要求， 但在课本和多数的教辅材料中都没有提及它的应用，其实 平面的法向量是中学数学中的一颗明珠，是解立体几何题的锐利武器， 开发平面法向量的解题功能，可以解决不少立体几何中有关角和距离的难题，也能顺利解决 2005 年全国高考试卷中的立体几何试题。一、平面法向量的概念和求法向量与平面垂直如果表示向量a 的有向线段所在的直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作 a。平面的法向量如果 a，那么向量a 叫做平面的法向量。一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量，进而就可以利用平面的法向量解决相关立体几何问题。推导平面法向量的方法如下：在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量( , ,1)nx y[ 或( ,1, )nxz ，或(1, , )ny z ] ，在平面内任找两个不共线的向量,a b 。由 n，得0n a且0n b，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。有时为了需要，也求法向量 n 上的单位法向量0n ，则0nnn。例 1 在棱长为 1 的正方体1111ABCDA B C D 中，求平面1ACD 的法向量 n 和单位法向量0n 。解：建立空间直角坐标系，如图1，则(1,0,0)A，(0,1,0)C。设平面1ACD 的法向量( , ,1)nx y。得( 1,1,0)ACuuuv，1( 1,0,1)ADuuuuv。又 n面1ACD ，得 nACuuuv，1nADuuuuv。有( , ,1) ( 1,1,0)0( , ,1) ( 1,0,1)0x yx y，得11xy。(1,1,1)n，0(1,1,1)333(,,)3331 1 1nnn。二、平面法向量的三个引理为了能方便地运用平面法向量解题，特介绍平面法向量的三个引理，以此为工具，可以顺利地解决立体几何问题。A B O n 图 2 1n2n图 3 引理 1 设向量0n 是平面的单位法向量，点B 是平面外一定点，点A 是内任意一点，则点 B 到平面的距离0dAB nuuuv。证明 ：如图 2，过 B 作 BO 垂直平面于 O，在平面上任取一点A，则ABO 为 ABuuuv与 n 的夹角，设为。在 Rt ABO 中， BOduuuv，得0cosAB nAB ndABABAB nnABnuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuv。例 2 在例 1 中，求点1A 到平面1ACD 的距离。解析：由例1 的解答知，平面1ACD 的单位法向量0333(,,)333n，又1(0,0,1)AAuuuv，设点1A 到平面1ACD 的距离为 d ，则103333(0,0,1) (,,)3333dAA nuuuv。所以，点1A 到平面1ACD 的距离为33。说明：利用引理 1 求...