矩阵的特征值及次型

1 / 5 第 4 章矩阵的特征值及二次型一、内容解析1. 理解矩阵特征值、特征向量的概念；掌握特征值与特征向量的求法；设 A 为 n阶方阵，若存在数和非零 n 维向量 x ，使得xAx则称数为 A 的特征值， 称 x 为 A 相应于特征值的特征向量。注意特征向量必为非零向量。例如，设11,2,3113xA因112113113所以 2 为 x 的特征值，11为 A 相应于 2 的特征向量。特征值的求法：求特征方程0||AI的根；特征向量的求法：求齐次线性方程组oxAI)(的非零解， 称为矩阵 A 的相应于特征值的特征向量。几个有用的结论：（1）n 阶方阵 n 个特征值之和等于方阵对角线元素之和（称为迹）。（2）n 阶方阵 n 个特征值之乘积等于方阵的行列式值。（3）若为方阵 A 特征多项式的k 重根，则 A 相应于的特征向量线性无关的个数不会超过k ，即有可能相等，有可能小于。（4）任一方阵对应于不同特征值的特征向量是线性无关的。由此结论知，方阵A 所有特征向量中线性无关的总数为对应于每个特征值的线性无关特征向量个数之和。2. 了解矩阵相似的定义和相似矩阵的性质；设 A ， B 都是 n 阶方阵，若有可逆方阵P , 使P - 1 A P = B则称 B 是 A 的相似矩阵，或说A 和 B 相似，记为 AB ，对 A 进行运算 P - 1 A P 称为对 A进行 相似变换 ，其中可逆阵P 称为 相似变换矩阵 。相似矩阵有相同的特征多项式，因而有相同的特征值。3. 掌握实对称矩阵对角化的方法。当 n阶矩阵 A 有 n个线性无关的特征向量时，A 被它的特征值和特征向量唯一确定，即一定有A =P P -1其中 P 是以特征向量为列向量的方阵，是以特征值为对角线元素的对角阵。2 / 5 4. 理解二次型的定义，二次型的矩阵表示；把变量nxxx,,,21的二次齐次多项式222112222221221112112211121),,,(nnnnnnnnnnnnxaxxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxaxxxf称为 n 元二次型。利用矩阵的乘法，可把二次型确切地用矩阵表示为AXXxxxfn ),,,(21其中nxxxX21，jiijnnnnaaaaaaA且1111。5. 了解二次型的标准形及其矩阵描述；只有平方项而没有交叉乘积项的二次型，即),,,(21nyyyf2222211nn ydydyd称其为二次型的标准形。任何一个二次型都可化为标准形。即任何一个对称阵A，总能找到可逆阵C，使ACC成为对角阵。6. 掌握用配方法化二次型为标准形的方法；以三个变量的二次型为例，即),,(233323321331322322221221311321122111321xaxxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxaxxxf先...