平行四边形提高训练

平行四边形提高训练 1、在正方形ABCD 中，点P 是CD 边上一动点，连接PA，分别过点B、D 作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为 E、F，如图①． （1）请探究 BE、DF、EF 这三条线段的长度具有怎样的数量关系？若点P 在DC 的延长线上，如图②，那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P 在CD 的延长线上呢，如图③，请分别直接写出结论； （2）就（1）中的三个结论选择一个加以证明． 2、如图1，在四边形ABCD 中，AB=CD，E、F 分别是BC、AD 的中点，连接EF 并延长，分别与BA、CD 的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE（不需证明）． （温馨提示：在图1 中，连接BD，取 BD 的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明 HE=HF，从而∠1=∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME=∠CNE．） 问题一：如图2，在四边形ADBC 中，AB 与CD 相交于点O，AB=CD，E、F 分别是BC、AD 的中点，连接EF，分别交DC、AB 于点M、N，判断△OMN 的形状，请直接写出结论； 问题二：如图3，在△ABC 中，AC＞AB，D 点在AC 上，AB=CD，E、F 分别是BC、AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD 的形状并证明． 3、如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，E 是AB 的中点，过点E 作EF∥BC 交CD 于点F．AB=4，BC=6，∠B=60度． （1）求点E 到 BC 的距离； （2）点P 为线段 EF 上的一个动点，过P 作PM⊥EF 交BC 于点M，过M 作MN∥AB 交折线 ADC 于点N，连接 PN，设 EP=x． ①当点N 在线段 AD 上时（如图2），△PMN 的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN 的周长；若改变，请说明理由； ②当点N 在线段 DC 上时（如图3），是否存在点P，使△PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由． 4、一位同学拿了两块45°的三角尺△MNK、△ACB 做了一个探究活动：将△MNK 的直角顶点 M 放在△ABC 的斜边 AB 的中点处，设 AC=BC=a． （1）如图 1，两个三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为 ，周长为 ； （2）将图 1 中的△MNK 绕顶点 M 逆时针旋转 45°，得到图 2，此时重叠部分的面积为 ，周长为 ； （3）如果将△MNK 绕 M 旋转到不同于图 1，图 2 的位置，如图 3 所示，猜想此时重叠部分的面积为多少？并试着加以验证． 5、已知等腰△ABC 中，AB=AC，AD 平分∠BAC 交 BC 于 D 点，...