平行四边形提高训练 1、在正方形ABCD 中,点P 是CD 边上一动点,连接PA,分别过点B、D 作BE⊥PA、DF⊥PA,垂足分别为 E、F,如图①. (1)请探究 BE、DF、EF 这三条线段的长度具有怎样的数量关系?若点P 在DC 的延长线上,如图②,那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系?若点P 在CD 的延长线上呢,如图③,请分别直接写出结论; (2)就(1)中的三个结论选择一个加以证明. 2、如图1,在四边形ABCD 中,AB=CD,E、F 分别是BC、AD 的中点,连接EF 并延长,分别与BA、CD 的延长线交于点M、N,则∠BME=∠CNE(不需证明). (温馨提示:在图1 中,连接BD,取 BD 的中点H,连接HE、HF,根据三角形中位线定理,证明 HE=HF,从而∠1=∠2,再利用平行线性质,可证得∠BME=∠CNE.) 问题一:如图2,在四边形ADBC 中,AB 与CD 相交于点O,AB=CD,E、F 分别是BC、AD 的中点,连接EF,分别交DC、AB 于点M、N,判断△OMN 的形状,请直接写出结论; 问题二:如图3,在△ABC 中,AC>AB,D 点在AC 上,AB=CD,E、F 分别是BC、AD 的中点,连接EF 并延长,与BA 的延长线交于点G,若∠EFC=60°,连接GD,判断△AGD 的形状并证明. 3、如图1,在等腰梯形ABCD 中,AD∥BC,E 是AB 的中点,过点E 作EF∥BC 交CD 于点F.AB=4,BC=6,∠B=60度. (1)求点E 到 BC 的距离; (2)点P 为线段 EF 上的一个动点,过P 作PM⊥EF 交BC 于点M,过M 作MN∥AB 交折线 ADC 于点N,连接 PN,设 EP=x. ①当点N 在线段 AD 上时(如图2),△PMN 的形状是否发生改变?若不变,求出△PMN 的周长;若改变,请说明理由; ②当点N 在线段 DC 上时(如图3),是否存在点P,使△PMN 为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的x的值;若不存在,请说明理由. 4、一位同学拿了两块45°的三角尺△MNK、△ACB 做了一个探究活动:将△MNK 的直角顶点 M 放在△ABC 的斜边 AB 的中点处,设 AC=BC=a. (1)如图 1,两个三角尺的重叠部分为△ACM,则重叠部分的面积为 ,周长为 ; (2)将图 1 中的△MNK 绕顶点 M 逆时针旋转 45°,得到图 2,此时重叠部分的面积为 ,周长为 ; (3)如果将△MNK 绕 M 旋转到不同于图 1,图 2 的位置,如图 3 所示,猜想此时重叠部分的面积为多少?并试着加以验证. 5、已知等腰△ABC 中,AB=AC,AD 平分∠BAC 交 BC 于 D 点,...