立体几何中轨迹问题VIP专享

1 / 16 例析空间中点的轨迹问题的转化求空间图形中点的轨迹既是中学数学学习中的一个难点，又是近几年高考的一个热点， 这是一类立体几何与解析几何的交汇题，既考查空间想象能力， 同时又考查如何将空间几何的轨迹问题转化为平面的轨迹问题来处理的基本思想。一．轨迹为点例 1 已知平面||，直线 l，点 Pl ，平面,之间的距离为 8，则在内到 P 点的距离为10 且到直线 l 的距离为9 的点的轨迹是( ) A．一个圆B.两条直线C.两个点D.四个点解析:设 Q 为内一动点，点 P 在内射影为 O，过 O, l 的平面与的交线为 l ，PQ=10，OQ=228106 点 Q 在以 O 为圆心 6 为半径圆 上 ， 过 Q 作QMl 于M ， 又点 Q 到 直 线 l 的 距 离 为9QM=178922则点 Q 在以 l 平行距离为17 的两条平行线上两条平行线与圆有四个交点这样的点 Q 有四个，故答案选D。点评:本题以空间图形为背景，把立体几何问题转化到平面上，再用平面几何知识解决，要熟记一些平面几何点的轨迹。二． 轨迹为线段例 2． 如图，正方体1111ABCDA BC D 中，点 P 在侧面11BCC B 及其边界上 运 动 ， 并 且 总 保 持1APBD ， 则 动 点P 的 轨 迹 是 （）。βαlMOQP2 / 16 A. 线段1BCB.线段1BCC. 1BB 中点与1CC 中点连成的线段D. BC 中点与11B C 中点连成的线段解：连结11,,AB AC B C ，易知111BDAAB所以11111,,ABBD ACBD B CBD ，所以1BD面1ABC ，若 P1B C ，则 AP平面1ABC ，于是1BDAP，因此动点 P 的轨迹是线段1B C 。评注：本题是由线面垂直的性质从而求出点P 的轨迹。例 3 已知圆锥的轴截面SAB 是边长为 2 的等边三角形， O 为底面中心，M 为 SO 的中点，动点 P 在圆锥底面内 (包括圆周 )，若MPAM，则点 P 的轨迹是 ________。形成的轨迹的长度为 __________。解析:在平面 SAB 中，过 M 作 AM 的垂线交 AB 于 C，在底面上， 过C 作 AB 的垂线分别交底面圆于D,E 两点，则 AM面 MDE,DE 即为点 P 的轨迹，又AO=1,MO=23 ,AM=27 ,从而AC= 47 ,OC= 43 ,所以DE=2724312.所以填上线段；27 . 三． 轨迹为直线例 4 (北京高考题 )如图， AB 是平面的斜线段， A 为斜足，过点 B作直线 l 与 AB 垂直，则直线 l 与平面交点的轨迹是( ) αABA．圆B.椭圆C.一条直线D.两条平行直线解析: 由题意可知直线 l 的轨迹应是过点B ...