反函数的导数复合函数的求导法则VIP专享

1xlna即：19,(y)反函数的导数，复合函数的求导法则一、反函数的导数设 x=9(y)是直接函数，y二 f(x)是它的反函数，假定 x=9(y)在［内单调、可导，而且 9'(y)丰 0，则反函数 y=f(x)在间 Ix={x1x=9(y),yeIy}内也是单调、可导的，而且证明：vx&-，给 x 以增量氏(Ax丰°’x+Ax&Ix)由 y=f(x)在匚上的单调性可知Ay=f(x+Ax)-f(x)丰 0Ay1AxAx于是不因直接函数 x-9(y)在 Iy上单调、可导，故它是连续的，且反函数 y-f(x)在-上也是连续的，当 AxT°时，必有 AT°「Ay「11lim-lim-—AxT°AxAyT0A0(y)【例】试证明下列基本导数公式(1).(arcsin(2).(arctgx(3).(logax)'-2/6函数 x二 siny 在 y十上单调、可导，且 x'=cOsy丰 0因此，在(—1,1)上,有1(arcsinx)-—cosy注意到，当 yG"飞迈)时，cosy>0，cosy=I：'1—sin2y 二门—x2因此，1(arcsinx)'=1—x2则 y=arctgx,J=(—g,+s)x=tgy 在［上单调、可导且 x->0cos2y(arctgx)'=故11=cos2y=(tgy)1+tg2y1+x2(logax)'=1(ay)'_1_1aylnaxlna证、设 x二 siny 为直接函数，y 二 arcsinx是它的反函数类似地，我们可以证明下列导数公式(arccos)1(arccosx)'=——1—x2(arcctgx)'=--——1+x2、复合函数的求导法则3/6dy=f，(uo)9(xo)dy即 dx=八 u0)9(xo)如果 ur(x)在点 xo 可导，而 y 二 f(u)在点 uo7(%)可导，则复合函数 y二 f3(x)］在点 X0 可导，且导数为证明：因±olx 二八 uo),由极限与无穷小的关系，有Ay=f(u)Au+a-Au(当 AuTo 时,aTo)o用Ax 丰 0去除上式两边得:AyAuAu二 f(u)-+a・一AxoAxAx由 u(x)在 xo 的可导性有：lima=lima=oAxToOAuTo，AxToAuToAyAuAu_.lim 二 lim[f(u)-+a-]AxToAxAxTooAxAx二 f'(u)-lim+lima-limAuoAxToAxAxToAxToAx二 f(u)呷‘(x)oox-xo上述复合函数的求导法则可作更一般的叙述若 u=申(x)在开区间 Ix 可导，y=f(u)在开区间 Iu 可导，且 Vx&Ix 时，对应的"&Iu，则复合函数 y=f血(x)］在 Ix 内可导，且dydydu•dxdudx复合函数求导法则是一个非常重要的法则，特给出如下注记：4/6dydydududx=(sinu)'-(2x)'=(cosu)-2=2cos2x【例】设y 二 lntgxd求⑴、求导法则(2)称之为锁链法贝【J 复合函数 J=/(^)，捉二卩(力的变量关系链为：y-u-x 欲求》对攵的导数，先 V对%的导数■再求捉对 x 的导数屮最后将它们相乘或•理 odudx弄懂了锁链规则的实质之后，不难给出复合更多层函数的求导公式。dy【例】y 二 fw[0(x)]｝，求 dx引入中...