竞赛04二项式定理及其应用

1 二项式定理及其应用班级 __________姓名 __________一、知识点一：二项式定理0112220() (*)nnnnnnnknkknnnnnkabC aC abC abC bC abnN．注 ：1．二项展开式的通项：1 (0)rnrrrnTC abrn ，它是展开式的第1r项；2．二项式系数： (0)rnCrn ．例 1．求71(1)xx的展开式中的常数项．解：由二项式定理得：7711(1)[1()]xxxx012277777771111()()()()rrCCxCxCxCxxxxx；①其中第1 (07)rr项为：171()rrrTCxx；②在1()rxx的展开式中，设第1k项为常数项，记为1kT；则211(), (0)krkkkrkkrrTC xC xkrx③由③得：20rk即2rk ， r 为偶数，再根据①、②知所求常数项为02142637727476393CC CC CC C．【注】求某一项时用二项展开式的通项．例 2．求26(123)xx的展开式里5x 的系数．解：因为2666(123)(13 ) (1)xxxx1223366122334455666666666666[13(3 )(3 )(3 ) ][1]CxCxCxCxC xC xC xC xC xC x所以26(123)xx的展开式里5x 的系数为：51422333266666661()33()3CCCCCCC441556663()31168CCC．【注】本题也可将26(123)xx化为26[1(23)]xx用例 1 的作法可求得．2 练习1．求610341(1) (1)xx展开式中的常数项．解：先求63(1)x的展开式中的通项：133166(),0, 1, 2, 3, 4rrrrrTCxC xr，5，6；再求1041(1)x的展开式中的通项：14411010(),0, 1, 2, 3, 4,, 10kkkkkTCxC xk；两通项相乘得：3344610610rrkkrkrkC x C xC C x；令034rk，得 43rk ，因此，（r，k）只有三组： （0，0），（ 3，4），（6，8）满足要求；故常数项为：346861061014246C CC C．2．已知231(1)()nxxxx的展开式中没有．．常数项，*nN，且 28n，求 n 的值．解：根据题意：31()nxx的通项为：431()rnrrrnrnnC xC xx；对*nN，且 28n中，经验证可知：只有5n时，其展开式既不出现常数项，也不会出现与x 、2x 乘积为常数的项．3．求51(2)2xx的展开式中整理后的常数项．解：因为51(2)2xx101011()()22xxxx，所以常数项为正中间的项：55610163 2()22xTCx．4．问123()xx的展开式中，含x 的正整数次幂共有多少项？解：661232361121212()()rrrrrrrrrTCxxC xC x；要求原式展开式中含x 的正整数次幂的项数，即求使x 的指数 66r 为正整数的r 的个数，而当 r0，6，12 时， x 的指数为正整数，即有共3 项．3 二、知识点二：二项式系数的性质1． (0)knknnCCkn ；2．111 (01)kkknnnCCCkn；3．若 n 是偶数，有0112nnnnnnnnCCCCC ，即中...