线性代数向量组的线性组合VIP专享

第二节向量组的线性组合分布图示★ n 维向量的概念★ 向量组与矩阵★ 向量的线性运算★ 例 1 ★例 2 ★ 线性方程组的向量形式★ 向量组的线性组合★ 例 3 ★ 例 4 ★ 例 5 ★ 定理 1 ★ 例 6-8 ★ 例 9 ★ 向量组间的线性表示★ 内容小结★ 课堂练习★ 习题 3-2 内容要点一、 n 维向量及其线性运算定义 1 n 个有次序的数naaa,,,21所组成的数组称为n 维向量 , 这 n 个数称为该向量的 n 个分量 , 第 i 个数ia 称为第 i 个分量 . 注：在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象. 引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序实数），此即上面定义的3 维向量 . 因此，当3n时， n 维向量可以把有向线段作为其几何形象 . 当3n时， n 维向量没有直观的几何形象.若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组. 例如，一个nm矩阵mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211每一列mjjjjaaa21),2,1(nj组成的向量组n,,,21称为矩阵 A 的列向量组，而由矩阵A 的的每一行),,2,1(),,,(21miaaainiii组成的向量组m,,,21称为矩阵 A的行向量组 . 根据上述讨论，矩阵A 记为),,,(21nA或nA21. 这样，矩阵A 就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关系. 矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组. 而线性方程组0XAnm的全体解当nAr)(时是一个含有无限多个n 维列向量的向量组. 定义 2两个 n 维向量),,,(21naaa与),,,(21nbbb的各对应分量之和组成的向量，称为向量与的和 , 记为，即),,,(2211nnbababa由加法和负向量的定义，可定义向量的减法：)(),,,(2211nnbababa. 定义 3 n 维向量),,,(21naaa的各个分量都乘以实数k 所组成的向量，称为数k 与向量的乘积（又简称为数乘） ，记为 k，即),,,(21nkakakak. 向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算. 注：向量的线性运算与行（列）矩阵的运算规律相同，从而也满足下列运算规律: (1) ;(2) )()(; (3) ;o(4) ;)(o(5) ;1(6) ;)()(kllk(7) ;)(kkk(8) .)(lklk二、向量组的线性组合考察线性方程组mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111(1) 令mmjjjjbbbnjaaa2121),,,2,1(则线性方程组 (1) 可表为如下向量形式: nn xxx2211(2) 于是 , 线性方程组 (1) 是否有解 , 就相当于是否存在一组数nkkk,,,21使得下列线性...