第三章 线性方程组§1 消元法一、线性方程组的初等变换现在讨论一般线性方程组 .所谓一般线性方程组是指形式为snsnssnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111,,(1) 的 方 程 组 ， 其 中nxxx,,,21代 表 n 个 未 知 量 ， s 是 方 程 的 个 数 ，),,2,1;,,2,1(njsia ij称为线性方程组的系数，),,2,1(sjb j称为常数项 .方程组中未知量的个数n 与方程的个数s 不一定相等 .系数ija 的第一个指标 i 表示它在第 i 个方程，第二个指标j 表示它是jx 的系数 . 所 谓 方 程 组 (1) 的 一 个 解 就 是 指 由 n 个 数nkkk,,,21组 成 的 有 序 数 组),,,(21nkkk，当nxxx,,,21分别用nkkk,,,21代入后， (1)中每个等式都变成恒等式 . 方程组 (1)的解的全体称为它的解集合.解方程组实际上就是找出它全部的解，或者说，求出它的解集合.如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的 . 显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程组就基本上确定了 .确切地说，线性方程组 (1)可以用下面的矩阵ssnssnnbaaabaaabaaa21222221111211(2) 来表示 .实际上，有了(2)之后，除去代表未知量的文字外线性方程组(1)就确定了，而采用什么文字来代表未知量当然不是实质性的.在中学所学代数里学过用加减消元法和代入消元法解二元、三元线性方程组.实际上，这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性 .下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组. 例如，解方程组.522,4524,132321321321xxxxxxxxx第二个方程组减去第一个方程的2 倍，第三个方程减去第一个方程，就变成.42,24,1323232321xxxxxxx第二个方程减去第三个方程的2 倍，把第二第三两个方程的次序互换，即得.6,42,132332321xxxxxx这样，就容易求出方程组的解为（9，-1，-6）. 分析一下消元法， 不难看出，它实际上是反复地对方程组进行变换，而所用的变换也只是由以下三种基本的变换所构成：1. 用一非零数乘某一方程；2. 把一个方程的倍数加到另一个方程；3. 互换两个方程的位置 . 定义 1 变换 1，2，3 称为线性方程组的初等变换. 二、线性方程组的解的情形消元的过程就是反复施行初等变换的过程.下面证明，初等变换总是把方程组变成同解的方程组 . 下面我们来说明，如何利用初等变换来解一般的线性方程组. 对于方程组 (1)，首先检查1x 的系数 .如果1x 的系数12111,,,saaa全为零，那么方...
