- 1 - 第六章线性空间3．检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1）次数等于 n （1n）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2）设 A 是一个 nn 实矩阵， A 的实系数多项式()fA 的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；3）全体 n 级实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；4）平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法；5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：1122121212(,)(,)(,)a babaabba a，211111(1)(,)(,)2k kka bkakba；6）平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：k0；7）集合与加法同6），数量乘法定义为：k；8）全体正实数 R ，加法与数量乘法定义为：abab ，kkaa ．解1）不能构成实数域上的线性空间．因为两个 n 次多项式相加不一定是n 次多项式，所以对加法不封闭．2）能构成实数域上的线性空间．事实上，{() |( )[ ]}Vff xxRA即为题目中的集合，显然，对任意的(),()fgVAA，及 kR ，有()()()fghVAAA，()()()kfkfVAA，其中( )( )( )h xf xg x ．这就说明 V 对于矩阵的加法和数量乘法封闭．容易验证，这两种运算满足线性空间定义的1~8 条，故 V 构成实数域上的线性空间．3）能构成实数域上的线性空间．由于矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8 条性质，故只需证明对称（反对称，上三角）矩阵对加法与数量乘法是否封闭即可．而两个对称（反对称，上三角）矩阵的和仍为对称（反对称，上三- 2 - 角）矩阵，一个数k 乘对称（反对称，上三角）矩阵也仍为对称（反对称，上三角）矩阵．于是，n 级实对称（反对称，上三角）矩阵的全体，按照矩阵的加法和数量乘法，都构成实数域上的线性空间．4）不能构成实数域上的线性空间．因为，两个不平行与某一向量的两个向量的和可能平行于，例如：以为对角线的任意两个向量的和都平行于，从而不属于题目中的集合．5）能构成实数域上的线性空间．事实上，{(, ) | ,}Va ba bR即为题目中的集合． 显然，按照题目中给出的加法和数量乘法都封闭．容易验证，对于任意的( ,)a b ， (,)iia bV ，1, 2, 3i；,k lR ，有①由于两个向量的分量在加法中的位置是对称的，故加法交换律成立；②直接验证，可知加法的结合律也成立；③由于 ( , )(0, 0)(0,00)( , )a baba b ，故 (0, 0) 是 V 中加法的零元素；④如果11111( ,...
