建坐标系解立体几何(含解析)VIP专享

第 1 页 共 25 页 立体几何——建坐标系 1.如图,四棱锥S-ABCD 中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面SAB 为等边三角形. AB=BC=2, CD=SD=1. (Ⅰ)证明:SD⊥平面SAB; (Ⅱ)求AB 与平面SBC 所成的角的大小. 2.如图,在四面体ABOC 中, OC⊥OA, OC⊥OB, ∠AOB=120°,且 OA=OB=OC=1. (Ⅰ)设 P 为AC 的中点, Q 在AB 上且 AB=3AQ. 证明:PQ⊥OA; (Ⅱ)求二面角O-AC-B 的平面角的余弦值. 3.如图, 在正三棱柱 ABC-A1B1C1中, AB=4,AA1=7 ,点 D 是 BC 的中点,点 E 在AC 上,且 DE⊥A1E. (Ⅰ)证明:平面A1DE⊥平面ACC1A1; (Ⅱ)求直线 AD 和平面A1DE 所成角的正弦值. 第 2 页 共 25 页 4.如图, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中, AB=1, AC=AA1= 3 ,∠ABC=60 °. (Ⅰ)证明:AB⊥A1C; (Ⅱ)求二面角 A-A1C-B 的大小. 5.四棱锥 A-BCDE 中, 底面 BCDE 为矩形, 侧面 ABC⊥底面 BCDE, BC=2, CD=2 , AB=AC. (Ⅰ)证明:AD⊥CE; (Ⅱ)设侧面 ABC 为等边三角形, 求二面角 C-AD-E 的大小. 6.如图, 正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为 2, D 为 CC1中点. (Ⅰ)求证:AB1⊥平面 A1BD; (Ⅱ)求二面角 A-A1D-B 的大小. 7.如图, 在三棱锥 V-ABC 中, VC⊥底面 ABC, AC⊥BC, D 是 AB 的中点, 且 AC=BC=a , 第 3 页 共 25 页 ∠VDC=θ）（ 20 . (Ⅰ)求证:平面VAB⊥平面VCD; (Ⅱ)试确定θ的值, 使得直线BC 与平面VAB 所成的角为6. 8.如图, △BCD 与△MCD 都是边长为2 的正三角形, 平面MCD⊥平面BCD, AB⊥平面BCD, AB=2. (Ⅰ)求直线AM 与平面BCD 所成角的大小; (Ⅱ)求平面ACM 与平面BCD 所成二面角的正弦值. 9.如图, 在四棱锥P-ABCD 中, PD⊥平面ABCD, PD=DC=BC=1, AB=2, AB∥DC, ∠BCD=90°. (Ⅰ)求证:PC⊥BC; (Ⅱ)求点 A 到平面PBC 的距离. 第 4 页 共 25 页 10.如图, 直三棱柱ABC-A1B1C1中, AC=BC, AA1=AB, D 为BB1的中点, E 为AB1上的一点, AE=3EB1. (Ⅰ)证明:DE 为异面直线AB1与CD 的公垂线; (Ⅱ)设异面直线AB1与CD 的夹角为45°, 求二面角A1-AC1-B1的大小. 11.如图, 四棱锥 S-ABCD 中, 底面ABCD 为矩形, SD⊥底面ABCD, AD=2 , DC=SD=2. 点M 在侧棱SC 上, ∠ABM=60°. (Ⅰ)证明:M 是侧棱SC 的中点; (Ⅱ)求二面角S-AM-B 的大小. 12.如图, 直三棱柱ABC-A1B1C1中, AB⊥AC, D、E 分别为AA1、B1C 的中点,...