无穷级数习题解答

无穷级数 一、 判断下列级数的敛散性，若收敛，求出其和 1 、 1221nnnn  解：因为   11221211212111221nnknkSkkkkkkknnnn    所以 lim12.nnS  故 122112.nnnn   2 、113nn 解：因为11lim103lim3nnnn ，所以113nn发散。 3 、13(1)nnnnn 解：因为313lim3lim01(1)(1)nnnnnnnen，所以13(1)nnnnn发散。 4 、11123nnn 解：111111111332.11232321123nnnnnnn 注：常用极限及公式： 1lim1, (0), lim1, lim 1.nnnnnnaanen 1(1)( )(1)(1)nnkSf kf kf nf，11| | 1, .1nnaqaqq 二、 用比较判别法判断下列正项级数的敛散性 1 、11 cosnn 解： 因为 2221 cos2sin 22nunnn  而级数 222211122nnnn收敛，故11 cosnn收敛。 2 、1123 5(21)nnn 解：因为 11223 5(21)3nnnun  而级数1123nn收敛，故1123 5(21)nnn收敛。 3 、1 25nnnn 解：因为 1252nnnnun 而级数112nn收敛，故1 25nnnn收敛。 4 、12(21) 3nnnn 解：因为 22(21) 33nnnnun  而级数123nn收敛，故12(21) 3nnnn收敛。 5、1( )( )nP nQ n，其中( )P n 、 ( )Q n 为关于n的最高阶系数为正的多项式，且阶分别为 和  。 解：令10111011( )( )nP nanana n auQ nbnbnb n b 则 0111011111111111nnaaaannnuAnnbbbbnnn  ，且00lim0nnaAb， （1）， 00lim0nnaub，此时级数发散； （2），lim0nnu  ，此时级数发散； （3）由 00lim0nnaAb知 ...