曲线拟合的最小二乘法 在科学实验数据处理中，往往要根据一组给定的实验数据，求出自变量x与因变量y的函数关系，这是 为待定参数，由于观测数据总有误差，且待定参数ai的数量比给定数据点的数量少(即 n＜m)，因此它不同于插值问题
这类问题不要求通过点，而只要求在给定点上的误差的平方和最小
当时，即 (5
1) 这里是线性无关的函数族，假定在上给出一组数据，以及对应的一组权，这里为权系数，要求使最小，其中 (5
2) 这就是最小二乘逼近，得到的拟合曲线为 y=s(x)，这种方法称为曲线拟合的最小二乘法
2)中实际上是关于的多元函数，求 I的最小值就是求多元函数I的极值，由极值必要条件，可得 (5
3) 根据内积定义(见第三章)引入相应带权内积记号 (5
4) 则(5
3)可改写为 这是关于参数的线性方程组，用矩阵表示为 (5
5)称为法方程
当线性无关，且在点集上至多只有n 个不同零点，则称在X上满足Haar条件，此时(5
5)的解存在唯一(证明见［3］)
5)的解为 从而得到最小二乘拟合曲线 (5
6) 可以证明对，有 故(5
6)得到的即为所求的最小二乘解
它的平方误差为 (5
7) 均方误差为 在最小二乘逼近中，若取，则，表示为 (5
8) 此时关于系数的法方程(5
5)是病态方程，通常当n≥3 时都不直接取作为基，其具体方法下节再讨论，下面只给出 n=1的例子
10 已知一组实验数据如表所示
试求最小二乘拟合曲线
解 将所给数据在坐标纸上标出，如图 5-6所示，说明它可用线性函数作曲线拟合，即选择形如作为拟合曲线
这里，故 图5-6 于是由(5
5)得法方程 解得 于是所求的最小二乘拟合曲线为 均方误差为
使用最小二乘逼近时，模型的选择是很重要的，通常模型y=s(x
