曲线拟合的最小二乘法 在科学实验数据处理中，往往要根据一组给定的实验数据，求出自变量x与因变量y的函数关系，这是 为待定参数，由于观测数据总有误差，且待定参数ai的数量比给定数据点的数量少(即 n＜m)，因此它不同于插值问题.这类问题不要求通过点，而只要求在给定点上的误差的平方和最小.当时，即 (5.8.1) 这里是线性无关的函数族，假定在上给出一组数据，以及对应的一组权，这里为权系数，要求使最小，其中 (5.8.2) 这就是最小二乘逼近，得到的拟合曲线为 y=s(x)，这种方法称为曲线拟合的最小二乘法. (5.8.2)中实际上是关于的多元函数，求 I的最小值就是求多元函数I的极值，由极值必要条件，可得 (5.8.3) 根据内积定义(见第三章)引入相应带权内积记号 (5.8.4) 则(5.8.3)可改写为 这是关于参数的线性方程组，用矩阵表示为 (5.8.5) (5.8.5)称为法方程.当线性无关，且在点集上至多只有n 个不同零点，则称在X上满足Haar条件，此时(5.8.5)的解存在唯一(证明见［3］).记(5.8.5)的解为 从而得到最小二乘拟合曲线 (5.8.6) 可以证明对，有 故(5.8.6)得到的即为所求的最小二乘解.它的平方误差为 (5.8.7) 均方误差为 在最小二乘逼近中，若取，则，表示为 (5.8.8) 此时关于系数的法方程(5.8.5)是病态方程，通常当n≥3 时都不直接取作为基，其具体方法下节再讨论，下面只给出 n=1的例子. 例 5.10 已知一组实验数据如表所示. 试求最小二乘拟合曲线. 解 将所给数据在坐标纸上标出，如图 5-6所示，说明它可用线性函数作曲线拟合，即选择形如作为拟合曲线.这里，故 图5-6 于是由(5.8.5)得法方程 解得 于是所求的最小二乘拟合曲线为 均方误差为. 使用最小二乘逼近时，模型的选择是很重要的，通常模型y=s(x)是由物理规律或数据分布情况确定的，不一定都是形如(5.8.1)的线性模型，但有的模型经过变换可化为线性模型，这些也应按线性模型处理，例如 它是指数函数，关于系数，b并非线性，但对上式两端取对数得到 令，则上式转化为，它是线性模型，仍可按上面介绍的方法求y=s(x). 例5.11 给定数据如下： 求的最小二乘拟合曲线. 解 不是多项式，但两端取对数得.若令，则有，它是线性最小二乘拟合问题.可取，为求得A，b,先将 化为 .转化后的数据表为 根据最小二乘原理先求法方程系数 故有法方程 解得，于是得最小二乘拟合曲线 讲解： 曲线拟合的最小二乘法是处理实验数据一种经常使用的方法，它与插值不同，...
