解析几何——轨迹方程的高考题总结,推荐文档VIP专享

1 解析几何中求 轨迹方程 的常见方法一、直接法当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法 . 例1 已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆 C：，动点 M到圆 C的切线长与的比等于常数（如图），求动点 M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线．1 解：设M（x，y），直线MN切圆 C 于 N，则有，即，．整理得，这就是动点M的轨迹方程．若，方程化为，它表示过点和 x 轴垂直的一条直线；若λ ≠ 1，方程化为， 它表示以为圆心，为半径的圆．二、定义法定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的 定义或特征 ，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程. 例 2已知ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为 a 、 b 、 c，若bca,,依次构成等差数列，且bca，2AB，求顶点 C 的轨迹方程 . 122yxMQ0MQMNMQONMO222222)2(1yxyx0)41(4)1()1(222222xyx145x)0,45(2222222)1(3112yx）－（)0,12(2213122C B y x O A 2 2 解：如右图， 以直线 AB 为 x 轴，线段 AB 的中点为原点建立直角坐标系. 由题意，bca,,构 成 等 差 数 列 ，bac2（ 两 定 点 的 距 离 等 于 定 长 — 椭 圆 ）， 即4||2||||ABCBCA，又CACB，C 的轨迹为椭圆的左半部分. 在此椭圆中，1,2 ca，3b，故 C 的轨迹方程为)2,0(13422xxyx. 三、点差法将直线与圆锥曲线的交点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差 , 得到一个与弦的中点和斜率有关的式子 , 可以大大减少运算量 . 我们称这种 代点作差 的方法为 "点差法 " 。例 3 抛物线24yx 焦点弦的中点轨迹方程是。四、几何法几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质 ，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而得到动点的轨迹方程. 例 4 已知点)2,3(A、)4,1(B，过 A、B 作两条互相垂直的直线1l 和2l ，求 1l 和2l的交点 M 的轨迹方程 . 3 五、参数法参数法是指先 引入一个中间变量 （参数），使所求动点的横、 纵坐标yx,间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数 ，得到yx,间的直接关系式，即得到所求轨迹方程 . 例 5过抛物线pxy22（0p）的顶点 O 作两条互相垂直的弦OA 、 OB ，求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程 . 例 6 设椭圆中心为原点 O，一个焦点为 F（0，1），长轴和短轴的长度之比为t...